Zunächst ist die Rechenoperation, die man betrachtet, die Komposition \( \circ \). Und das neutrale Element bezüglich der Komposition ist die Identität.

Die Definition lautet (für gewöhnlich) wie folgt: Die inverse Funktion zu \( f: A \to B \) ist eine Funktion \( f^{-1}: B \to A \) mit der Eigenschaft \( f^{-1} \circ f = id_A \) und \( f \circ f^{-1} = id_B \).

Die Inverse Funktion zu \( f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ \), \( f(x) = x^2 \) ist beispielsweise die Funktion \( f^{-1}: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ \), \( f^{-1}(x) = \sqrt{x} \).

Wählt man den Definitionsbereich anders, dann ändert sich die Situation. Die Funktion \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ \), \( f(x) = x^2 \) hat zum Beispiel keine Inverse, da sie nicht injektiv ist.

Die Existenz einer inversen Funktion hängt also immer auch von der Definitions- und Zielmenge ab.

Bei den Restklassen betrachtet man (in der Regel) keine Funktionen mehr, sondern andere algebraische Strukturen (in der linearen Algebra oft Vektorräume). Man muss da also ein bisschen umdenken.

Die Aussage, dass die Restklasse von \( a \) ein multiplikatives Inverses besitzt, wenn \( ggT(a,m)=1 \) ist, gilt im Quotientenring \( \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \). Das ist keineswegs eine allgemeine Aussage. Es gibt zum Beispiel Ringe, in denen gar kein eindeutiger \( ggT \) existiert.

Zum besseren Verständnis machen wir mal ein Beispiel. Wir nehmen \( \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z} \). Die Elemente sind also die Restklassen \( [0], [1] \) und \( [2] \). Das neutrale Element der Multiplikation ist \( [1] \). Nun ist beispielsweise das multiplikative Inverse zu \( [2] \) die \( [2] \) selbst, denn \( [2] \cdot [2] = [2 \cdot 2] = [4] = [1] \). Und wir sehen \( ggT(2,3)=1 \).

Wie hängt die Existenz eines Inversen nun mit dem \(ggT\) zusammen? Machen wir es allgemein in \( \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \).

Angenommen zu \( [a] \) gibt es ein Inverses \( [b] \). Dann muss ja per Definition die Gleichung \( [a \cdot b] = [a] \cdot [b] = [1] \) gelten. Dies bedeutet aber, dass sich \( a \cdot b \) und \( 1 \) um ein Element in \( m \mathbb{Z} \) unterscheiden (denn das heißt ja gerade, dass die Restklassen gleich sind). Wir finden also ein \( z \in \mathbb{Z} \) mit \( a \cdot b + m \cdot z = 1 \). Nun teilt \( ggT(a,m) \) die linke Seite der Gleichung, also muss er auch die \(1\) auf der rechten Seite der Gleichung teilen. Wenn aber \( ggT(a,m) \) die \(1\) teilt, dann muss aber schon \( ggT(a,m)=1 \) gelten.

Andererseits, wenn \( ggT(a,m) = 1 \) ist, dann finden wir mit dem euklidischen Algorithmus \( u,v \in \mathbb{Z} \) mit \( a \cdot u + m \cdot v = 1 \). Das heißt \( a \cdot u \) und \( 1 \) unterscheiden sich um ein Element aus \( m \mathbb{Z} \), also müssen ihre Restklassen gleich sein. Wir erhalten \( [a] \cdot [v] = [a \cdot v] = [1] \). Und jetzt haben wir mit \( [v] \) ein Inverses zu \( [a] \) gefunden.