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Beide Abbildungen sind nicht linear, denn sie sind mit der skalaren Multiplikation nicht verträglich.
Betrachte folgende Gegenbeispiele:
\( k(2E_2) = det(2E_2) = 4 \neq 2 = 2 \cdot det(E_2) = 2 \cdot k(E_2) \)
für \(p=1\) (Einspolynom): \( l(2p)= \begin{pmatrix} (2p)(1) \cdot (2p)(0) \\ (2p)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} p(1) \cdot p(0) \\ p(0) \end{pmatrix} = 2 \cdot l(p)\).
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p ist doch ein Polynom, in das die Werte 0 bzw. 1 eingesetzt werden. Auch wenn p konstant ist und deshalb gar nicht von x abhängt, muss man die Ausdrücke (1), (0) und (0) dazuschreiben (obwohl immer 1 rauskommt).
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digamma
21.06.2020 um 19:50
Stimmt. Aber (2p)*(0)=0. Muss es nicht deswegen (2p)*p(0)=2p usw. heißen?
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kamil
21.06.2020 um 21:42
Da steht nirgendwo "`(2p)*(0)`. Der Ausdruck `2p` bezeichnet das Polynom (als Funktion) und das anschließende `(0)` bedeutet, dass 0 eingesetzt wird. Die einzige Mulitplikation, die hier stattfindet, ist die mit 2.
Nochmal zur Erklärung: Wenn `f` eine Funktion ist, dann ist `f(1)` der Funktionswert an der Stelle 1. Nun soll die Funktion mit 2 multipliziert werden. Das ergibt die Funktion `2f`, die definiert ist durch `(2f)(x) = 2*f(x)`. Also ist `(2f)(1) = 2*f(1)`.
Bei deinem obigen Problem also: `(2p)(0) = 2*p(0) = 2*1`, da `p(0) = 1` ist (da `p` konstant 1 ist). ─ digamma 21.06.2020 um 22:15
Nochmal zur Erklärung: Wenn `f` eine Funktion ist, dann ist `f(1)` der Funktionswert an der Stelle 1. Nun soll die Funktion mit 2 multipliziert werden. Das ergibt die Funktion `2f`, die definiert ist durch `(2f)(x) = 2*f(x)`. Also ist `(2f)(1) = 2*f(1)`.
Bei deinem obigen Problem also: `(2p)(0) = 2*p(0) = 2*1`, da `p(0) = 1` ist (da `p` konstant 1 ist). ─ digamma 21.06.2020 um 22:15
Verwirrungen aufgelöst. Aber: Kann man die Klammer weglassen? Man schreibt ja auch z.B. f(x) oder p(0) und nicht (f)(x) als Funktion, oder?Also wäre es 2p(0)
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kamil
21.06.2020 um 23:13
Bei dem l(2p) verstehe ich nicht, wieso da noch (1),(0) und (0) steht. Dass 2p eingesetzt verstehe ich, aber warum mal diese Ausdrücke (1), (0) und (0)? ─ kamil 21.06.2020 um 19:02