Anspruchsvolle Grenzwerte berechnen

Aufrufe: 598     Aktiv: 19.11.2020 um 22:49
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Hallo Mathematikfreunde :)

Kann mir jemand hier einen Tipp geben, wie man am besten vorgeht und evtl. ohne der L'Hospital-Methode?

Wäre sehr dankbar.

 

Freundliche Gruesse

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Student, Punkte: 214

 
a) -> l'hôpital
b) Umformung zu \(\lim_{n\to \infty}(\frac{1}{1+\frac{2}{n}})^n\) mit Identität \(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n = e(x)\)   ─   posix 19.11.2020 um 20:48
Danke. Und gibt es einen klassischen Weg?   ─   polymechanical 19.11.2020 um 20:49
Ach sorry, hab das ohne l'hopital übersehen, ich denke man könnte das beim ersten auch mit dem Sandwichtheorem hinbekommen.
   ─   posix 19.11.2020 um 20:54
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(a) Verwende die Potenzreihe: \(\cos(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}\ \cdot x^{2k}\).

(b) Verwende den Ansatz von posix.

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Lehrer/Professor, Punkte: 4K

 
Leider kenn ich den nicht wirklich. Gilt das für jeden Grenzwert?
Und wie funktioniert der bei den 2 Aufgaben? Wenn du Zeit hast, wäre ich froh, wenn du eventuell dies bei den Aufgaben zeigen könntest. Sonst vielen Dank für die Antwort. :)   ─   polymechanical 19.11.2020 um 21:54
(a) Aus \(\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-+\dots\) folgt \(\lim_{\delta\to0}\frac{\cos\delta-1}{\delta}=\lim_{\delta\to0}(-\frac{\delta}{2}+\frac{\delta^3}{24}-+\dots)=0\). Diesen Weg bevorzuge ich bei Funktionen, die in eine Potenzreihe entwickelbar sind.
(b) \(\left(\frac{n}{n+2}\right)^n=\left(\left(1-\frac{2}{n+2}\right)^{n+2}\right)^{\frac{n}{n+2}}\). Damit solltest Du den Grenzwert ausrechnen können.   ─   slanack 19.11.2020 um 22:34
Besten Dank für die Spitzenantwort!   ─   polymechanical 19.11.2020 um 22:45

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(a) können wir mit dem Mittelwertsatz lösen. Wir definieren \( f(x)=\cos(x)-1 \). Dann erhalten wir aus dem Mittelwertsatz die Aussage:

Es existiert ein \( \xi \in ( \min\{0,\delta\} , \max\{0,\delta\}) \) mit

\( \frac{\cos(\delta)-1}{\delta} \) \( = \frac{f(\delta)-f(0)}{\delta-0} \) \( = f^\prime(\xi) \) \( = - \sin( \xi ) \)

Für \( \delta \to 0 \) erhalten wir \( \xi \to 0 \) und somit

\( \lim_{\delta \to 0} \frac{\cos(\delta)-1}{\delta} \) \( = - \sin(0) = 0 \)

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Student, Punkte: 7.02K

 
Besten Dank für die ausführliche Lösung und einen weiteren Weg!   ─   polymechanical 19.11.2020 um 22:46
Sehr gerne. Dieser Weg ist vielleicht ein bisschen elementarer als die anderen Wege über L´Hospital oder Potenzreihen. Wobei mir das mit der Potenzreihenentwicklung auch sofort in den Kopf geschossen ist... Wie auch immer, es freut mich, wenn ich und die anderen dir helfen konnten :)   ─   42 19.11.2020 um 22:49

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