Hallo,

\(f\) macht aus einem Vektor wieder einen Vektor, nur mit vertauschten Einträgen. \(g\) macht aus einem Vektor eine Matrix. Dabei werden die Koeffizienten des Vektors auf eine bestimmte Weise in eine 2x2 Matrix als Koeffizienten gesetzt. Wenn du jetzt den Zielvektor aus \(f\) nimmst und die Struktur der Abbildung von \( g \) betrachtest, wo genau stehen dann am Ende die Koeffzienten in der Matrix?

Darauf können wir dann eine neue Abbildungsvorschrift basteln und haben sofort \(h\) um damit fortzufahren. Diese wird von der Form ähnlich sein, wie deine obigen Abbildungen. Also 

$$ h: \begin{pmatrix} \ \\ \ \\ \ \\ \ \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \ & \ \\ \ & \ \end{pmatrix} $$

Wir werden hier nicht wie so oft gewohnt, eine Matrix oder ähnliches als Abbildung haben. 

Für die Bijektivität, kannst du zwei Wege gehen. Entweder du zeigst die Injektivität und die Surjektivität der Abbildung. Oder du findest direkt eine Abbildung, die die Umkehrabbildung von \( h \) ist. Wenn es so eine Abbildung gibt, muss die Abbildung selbst bijektiv sein. 

Aber ich würde sagen, versuche erstmal \(h\) aufzustellen und gucken wir weiter.

Grüße Christian