Trigonometrische Gleichung lösen

Aufrufe: 411     Aktiv: 10.09.2020 um 18:42
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Ich muss folgende Gleichung lösen:

cos(x/2)=1/2

Wie geh ich da vor? 

Viele Grüße,

Eva :)

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Schüler, Punkte: 12

 
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Ich finde es ganz gut, hier zunächst zu substituieren. x/2=u

Dann heißt die Gleichung: cos(u)=1/2

Kannst du damit dann schon etwas anfangen?

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Da würde dann pi/3 raus kommen. Muss ich dann noch irgendwas machen oder ist das dann schon das Endergebnis?   ─   eins.eva 10.09.2020 um 17:58
Da würde dann pi/3 raus kommen. Muss ich dann noch irgendwas machen oder ist das dann schon das Endergebnis?   ─   eins.eva 10.09.2020 um 17:58
Das "Problem" bei trigonometrischen Gleichungen ist, dass es so viele Lösungen gibt :-)
Aber die erste Zwischenlösung stimmt. u1=Pi/3
Jetzt gibt es innerhalb einer Periode der "normalen" Kosinuskurve (mit der wir ja nach der Substitution arbeiten) aber noch eine zweite Stelle, wo der Wert 1/2 ist. Findest du die auch selbst heraus?   ─   andima 10.09.2020 um 18:02
Gibt es bei der Aufgabe eigentlich die Angabe eines Intervalls, in dem die Lösungen zu bestimmen sind?   ─   andima 10.09.2020 um 18:02
Ja: G= ]-pi/2 ; 3pi/2]   ─   eins.eva 10.09.2020 um 18:04
Okay. Aber erstmal zurück zum zweiten u, hast du da ne Idee?   ─   andima 10.09.2020 um 18:06
vielleicht -pi/3 ?   ─   eins.eva 10.09.2020 um 18:16
Sehr gut. Entweder man setzt auf Grund der Symmetrie der Kosinuskurve einfach ein Minus vor die erste Lösung, oder, als Alternative, könnte man auch 2Pi minus die erste Lösung rechnen. Würde man das tun, bekäme man dieselbe Lösung, nur quasi eine Periode weiter.
Jetzt machst du mit beiden Lösungen die Resubstitution.   ─   andima 10.09.2020 um 18:20
Okay, vielen Dank ich hab die Lösungen!
   ─   eins.eva 10.09.2020 um 18:36
Es gibt hier aber tatsächlich nur eine Lösung! :-) Zunächst ist x1=2Pi/3 und x2=-2Pi/3. Da kann man schon mal schauen, ob die im gegebenen Intervall liegen. Das trifft nur auf 2Pi/3 zu. Dann sollte man aber auch prüfen, wie es jeweils mit den periodisch auftretenden weiteren Lösungen aussieht. Das heißt, man muss schauen, was cos(x/2) für eine Periode hat, welche 4Pi ist. und jetzt muss man zu beiden bekannten Lösungen mal eine Periode addieren bzw. abziehen und schauen, ob diese Werte dann auch noch im Intervall liegen! :-)   ─   andima 10.09.2020 um 18:42

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Du berechnest mit dem arccos (der umkehrfunktion) wann ein Cosinus gleich 1/2 wird. Diesen Wert setzt du dann gleich x/2 und Löst nach x auf. 

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Und dann aber nicht vergessen, dass es noch eine zweite Lösung gibt ... und sich beide periodisch wiederholen :-)   ─   andima 10.09.2020 um 17:39

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