Moin anonym.
Die Einheitskugel mit Mittelpunkt im Ursprung kannst du im Dreidimensionalen folgendermaßen darstellen:
\(x^2+y^2+z^2=1\), \(x,y,z\) kannst du je nach Notation natürlich auch mit \(x_1,x_2,x_3\) ersetzen.
Jetzt kannst du ein Vielfaches \(p\) deines Vektors einsetzen, da der Schnittpunkt ja meistens nicht bei exakt einer Länge des Vektors liegt.
\((p\cdot a)^2+(p\cdot b)^2+(p\cdot c)^2=1\)
Wenn du jetzt ein bisschen umformst siehst du, dass der Schnittpunkt \(S\) zwischen deinem Vektor \(\begin{pmatrix}
a\\
b\\
c
\end{pmatrix}\) und dem Einheitskreis immer bei \( \dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\cdot \begin{pmatrix}
a\\
b\\
c
\end{pmatrix}\) liegt. Das funktioniert aber nur solange der Vektor Betragsmäßig größer als \(1\) ist. Ansonsten berechnest du so den Schnittpunkt der Kugel mit dem auf \(1\) verlängertem Vektor.
Ob sich das auf n Dimensionen verallgemeinern lässt, kann ich dir nicht endgültig sagen. Ich vermute aber, dass das irgendwie funktioniert, weil man hier ja prinzipiell mit Normen, etc. rechnet, welche du dir ja auf n Dimensionen definieren kannst.
Grüße
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Danke für Eure schnelle Antwort!!
Ich habe beide Antworten verstanden, aber eine Frage habe ich noch:
Im Grunde hat „1+2=3“ genau die Formel für den Spezialfall n=3 beschrieben, und zwar zu 100% so wie „aufjedebewertungeinschnaps“ es beschrieben hat, oder? Denn wenn man die Anfangsformel nach p umstellt, bekommt man genau p = 1 / sqrt(a^2+b^2c^2) = 1/ ||z|| ─ anonymd3d81 31.08.2020 um 09:09