Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher welche Darstellung du meinst.
Meinst du den Abschnitt, indem es um den Einheitskreis geht?
Aus einer Metrik, kann man immer eine Norm ableiten durch
$$ \Vert x \Vert = \sqrt{<x,x>} $$
Die Einheitskreise um den Ursprung sind definiert über
$$ \Vert x \Vert = 1 $$
Also alle Vektoren, die die Länge \( 1 \) haben.
Damit gilt aber auch
$$ < x,x > = \Vert x \Vert^2 = 1^2 = 1 $$
Also können wir analog alle Vektoren suchen, deren Skalarprodukt mit sich selbst \( 1 \) ergibt.
Das Skalarprodukt aus deiner Aufgabe ist ja definiert über
$$ <x,y>_A = x^T \cdot A \cdot y $$
Mit einer positiv definiten, symmetrischen Matrix \( A \in \mathbb{R}^{n \times n } \). Wie sieht so eine Matrix mit \( n=2 \) ganz allgemein aus? Also wie sieht eine symmetrische Matrix \( A \in \mathbb{R}^{2\times 2 } \) aus?
Jetzt kannst du ja mal ganz allgemein
$$ <x,x> = x^T \cdot A \cdot x =1 $$
berechnen. Wie sieht die Gleichung aus, die sich daraus ergibt?
Die Formel die du aus deinem Skript kennst, gilt nur für das Standardskalarprodukt des \( \mathbb{R}^n \). Man kann das Standardskalarprodukt auch über eine Matrix definieren. Kommst du drauf, welche Matrix über die Formel von \( <x,x>_A \) das Standardskalarprodukt definiert?
Grüße Christian
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Das Standardskalarprodukt folgt übrigens aus der Einheitsmatrix \\( E_n \in \mathbb{R}^{n \times n} \\)
$$ x^T \cdot E_n \cdot y = \sum\limits_{i=1}^n x_i \cdot y_i $$ ─ christian_strack 10.08.2020 um 10:59
Ich glaube jetzt habe ich es komplett verstanden. Dass die Matrix A symmetrisch sein muss heißt ja dass die Einträge von A=(a_11,a_12, a_12, a_22) sind. Das hat mir noch gefehlt. Habe jetzt (x_1,x_2)*(A*(x_1,x_2)). Das müsste dann passen. Vielen Dank ─ clemens57 09.08.2020 um 19:59