Mengen, Abbildungen

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Hallo ihr,

bräuchte Hilfe bei Aufgabe 3 und Aufgabe 4. 

Bei 4a) dachte ich mir, da M endlich ist, kann es nur endlich viele Abbildungen geben, oder? Nur wie zeige ich das?

mit Injektivität und Surjektivität hab ich irgendwie Probleme, deshalb kriege ich auch die weiteren Aufgaben nicht hin. Ich verstehe die Definition der beiden, aber wie ich damit arbeiten soll, das weiß ich leider nicht so recht.

 

Bei Aufgabe 5 bin ich dann irgendwie raus, verstehe alle Sachen im Einzelnen an sich, aber schaffe es nicht es zusammenzuführen

 

würde mich über Hilfe freuen, danke

Uni
gefragt vor 3 Tagen, 2 Stunden
s
selinax,
Punkte: 10

 
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1 Antwort
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zu A3: Eine Abbildung \(f\colon M\to M\) kann man als Relation auffassen, nämlich als Teilmenge \(R\subseteq M\times M\) mit den Eigenschaften: \(\forall x\in M\exists y\in M\colon (x,y)\in R\) und \(\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in R\colon (x_1=x_2\Rightarrow y_1=y_2)\).  M.a.W. taucht also jedes \(x\in M\) als erste Komponente in einem Paar in \(R\) genau einmal auf.  Man nennt \(R\) auch den Graphen der Abbildung \(f\) und schreibt \(f(x)=y\) wenn \((x,y)\in R\) gilt.  Damit ist es für endliches \(M\) ein kombinatorisches Problem, wie viele Abbildungen \(M\to M\) es gibt.  Und dass diese Anzahl endlich ist, folgt daraus, dass \(M\times M\) nur endlich viele Elemente besitzt, es also auch nur endlich viele Teilmengen \(R\) geben kann.  Kannst Du jetzt die Anzahl der Abbildungen ausrechnen?

Injektivität und Surjektivität sind einfach zusätzliche Einschränkungen, die der Graph \(R\) erfüllen soll; die Definitionen kennst Du ja.  Damit reduziert sich die Anzahl der Möglichkeiten weiter, es bleibt ein kombinatorisches Problem.

Tipp: In (d) ist die Antwort nein.  Um das zu beweisen, erfinde ein konkretes Gegebeispiel, z.B. eine Funktion \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), die surjektiv aber nicht injektiv ist.

geantwortet vor 3 Tagen, 1 Stunde
s
slanack
Lehrer/Professor, Punkte: 1.27K
 
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