Sei \(J\) ein Ideal, das \(a\) und \(b\) enthält. Seien nun \(k,l \in R\) beliebig. Da \(J\) ein Ideal ist, gilt somit \(ka \in J\) und \(lb \in J\) und dann schließlich auch \(ka+lb \in J\). Somit gilt also \( I \subset J \).

Sei nun \( I = \{ rc : r \in R \} \).

Es sind \(a,b \in I=\{rc:r \in R\}\), also muss es \(r,s \in R\) geben, sodass \(a=rc\) und \(b=sc\) ist. Also teilt \(c\) sowohl \(a\) als auch \(b\).

Ferner gilt \(c \in \{ rc : r \in R \}=I \), also muss es \(k,l \in R\) geben mit \(c=ka+lb\). Ein gemeinsamer Teiler von \(a\) und \(b\) teilt offensichtlich die rechte Seite der Gleichung, also muss er auch die linke Seite, also das \(c\), teilen.