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konvergiert.
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Mache einen Widerspruchsbeweis. Angenommen, \(g_n\to g\) in \(C[0,1]\). Aus gleichmäßiger Konvergenz folgt punktweise Konvergenz. Du weißt also, wie \(g\) in \([0,1)\) aussieht, denn die punktweisen Grenzwerte kennst Du dort. Führe dies zu einem Widerspruch.
Hilft das?
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slanack
Lehrer/Professor, Punkte: 4K
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Für gewöhnlich bedeutet \( g \in C[0,1] \) ja gerade, dass \( g \) eine stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall \( [0,1] \) mit Werten in \( \mathbb{R} \) (bzw. \( \mathbb{C} \)) ist. Also existiert insbesondere der Funktionswert \( g(1) \) und ist eine reelle (bzw. komplexe) Zahl. Deshalb kann \( g \) an der Stelle \( 1 \) nicht gegen Unendlich laufen. Generell kann \( g \) nirgendwo im Intervall \( [0,1] \) gegen Unendlich laufen.
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42
09.01.2021 um 22:16
Ahh perfekt vielen Dank! Bedeutet also, dass die Folgenglieder zwar alle in C[0,1] liegen, ABER die Folge nicht gleichmäßig konvergiert, oder?
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uuuuu
10.01.2021 um 16:21
Genau. (Sie konvergiert nicht mal punktweise, wegen \( \lim_{n \to \infty} g_n(1) = \infty \).)
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42
10.01.2021 um 16:38
Ja, so sieht man den Widerspruch am einfachsten.
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slanack
10.01.2021 um 16:54
Bei der gleichmäßigen Konvergenz kann man dann ja die umgekehrte Dreiecksungleichung anwenden.
dann komme ich auf ||g_n - g|| >= n - ||g||
Für n gegen unendlich steht in unserer Lösung, dass das gegen unendlich konvergiert, mit der Begründung,
dass die sup-Norm von g eine feste reelle Zahl ist, da g als stetige Funktion auf [0,1] ein Minimum und ein Maximum annimmt.
Aber woher weis ich, dass es eine feste reelle Zahl ist? Könnte g nicht auch gegen unendlich laufen an der 1?
Und somit ||g_n - g|| gegen 0?
─ uuuuu 09.01.2021 um 19:41