Picardsches Iterationsverfahren, Lipschitzbedingung

Aufrufe: 818     Aktiv: 03.03.2020 um 12:19
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Meine letzte Frage für heute :-)

Ich habe das Picardsche Iterationsverfahren angewandt und bin auf folgendes gekommen :

Soweit ich das gesehen habe mit dem Beispiel, welches mir den Ansatz gab sollte ich auf eine Taylorentwicklung kommen. Sprich beispielsweise sollte das \(y_3(x) \) zum Beispiel aus \(y_2(x) \) aufgabaut sein usw. 

Jedoch ist das bei meiner Aufgabe nicht der Fall. Wie weit muss man rechnen mit dem Picardschen Iterationsverfahren, damit es für eine Lösung ausreichend ist?

Und wie kann ich es auf die Lipschitzbedingung überprüfen?

 

Liebe Grüsse

 

 

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Student, Punkte: 282

 
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Hi,

du hast bei der zweiten und dritten Iteration nicht richtig in f eingesetzt meine ich.

Außerdem solltest du im besten Fall induktiv zeigen gegen was das Verfahren konvergiert. Hat meistens was mit der Reihendarstellung von e^x zu tun...

 

EDIT: lokale lipschitzbed. von f erhälst du ja einfach durch die stetigkeit der Ableitung. Wie sieht es mit einer globalen lipschitz. Bed aus ?

 

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Student, Punkte: 445

 
Vielen Dank für deine schnelle Antwort.

Aber ich sehe gerade nicht wo ich das quadrieren vergessen habe.   ─   wizzlah 02.03.2020 um 19:28
schau nochmal deine zweite und dritte Iteration an. Dort hast du das vorherige nicht in f eingesetzt   ─   crazyfroggerino 02.03.2020 um 19:29
Ok sorry wenn ich das nicht direkt sehe, aber mein \(y_1\) ist ja \(x^2 + 1 \).

Für \( y_2\) gilt ja dann \(1 + \int_{0}^{x} f(t,y1) \), aber in \( y_1\) kommt ja gar kein y mehr vor.   ─   wizzlah 02.03.2020 um 19:33
es ist dann f(t,y_1(t))=2t(1+t^2)^2
   ─   crazyfroggerino 02.03.2020 um 19:37
Danke ^^   ─   wizzlah 02.03.2020 um 19:41
Ich habe jetzt mal weitergerechnet und bin auf die entsprechende Lösung (oben hinzugefügt) gekommen(hoffentlich ohne Fehler). Jetzt sollte ich doch irgendwie in der Lage sein eine Reihenentwicklung ablesen zu können, aber irgendwie will es mir nicht gelingen und ich denke, dass das Bestimmen weiterer Lösungen nicht helfen wird.
   ─   wizzlah 03.03.2020 um 12:19

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