Question

Ableitung, Distribution, kompakte Menge

Aufrufe: 385 Aktiv: 02.12.2020 um 16:44

0

Sei $U\subseteq \mathbb{R}$ offen . Eine lineare Abbildung $u:C_{c}^{\infty} \rightarrow \mathbb{C}$ wird Distribution auf $U$ genannt, wenn es zu jeder kompakten Teilmenge $K\subseteq U$ Konstanten $C\geq 0$ und $N\in\mathbb{N}$ mit

$|u(\varphi)|\leq C||\varphi||_{C^N(K)}=C \max_{|\alpha|\leq N}\sup_{x\in K}|\partial^\alpha\varphi(x)|$

für alle $\varphi\in C_{c}^\infty(K)$ gibt.

Sei eine Distribution auf , so definieren wir für alle $\alpha \in \Mathbb{N}^{n}$ die Ableitung $\partial ^{\alpha}u: C_{c}^{\infty}(U)\rightarrow\mathbb{C}$ via $(\partial ^{\alpha}u)(\varphi):=(-1)^{|\alpha|}u(\partial ^{\alpha}\varphi)$ für alle $\varphi \in C_{c}^{\infty}(U)$ .

Zeigen Sie, dass $\partial^{\alpha}u$ wieder eine Distribution ist und berechnen sie jeweils die Ableitung der Distribution u_f auf $\mathbb{R}$ für f(x)=|x| und $ f=1_{\mathbb{R}\geq0} $

Kann mir hier jemand helfen? Ich stehe absolut auf dem Schlauch.

Teilen Diese Frage melden

gefragt 02.12.2020 um 09:33

ksumnole
Student, Punkte: 36

Kommentar schreiben

1 Antwort

slanack · Accepted Answer · 2020-12-02T16:44:13Z

Ich nehme an $n$ ist die Raumdimension, also $U\subseteq\mathbb{R}^n$?

Fange damit an, zu zeigen, dass $\partial^\alpha u$ eine Distribution ist für eine Distribution $u$ auf $U$. Für beliebiges, aber festes $K\subseteq U$ musst Du geeignete $C,N$ finden. Halte also $K$ fest. Dann gibt es $C_1,N_1$ für $u$, so dass die Bedingung \[\forall\varphi\in C^\infty_{\mathrm{c}}(K)\colon|u(\varphi)|\le C_1\|\varphi\|_{C^{N_1}(K)}\] erfüllt ist. Zeige jetzt mit diesen Fakten, dass $C_2,N_2$ existieren, so dass \[\forall\varphi\in C^\infty_{\mathrm{c}}(K)\colon|\partial^\alpha u(\varphi)|\le C_2\|\varphi\|_{C^{N_2}(K)}\] erfüllt ist.

Schreibe das mal auf; es ergibt sich ganz von alleine, was zu tun ist. Du musst nur die Definition von $\partial^\alpha u$ einsetzen.