In der Klausur sind die Aufgaben dem Zeitrahmen angepasst.  Die Beweisaufgaben muss man nur lösen, wenn man eine 1 will.

*Ein* Rezept gibt es nicht, sondern viele!  Je nach Typ muss man unterschiedlich vorgehen. In der Vorlesung werden ja viele Beweise gemacht, genau um die unterschiedlichen Vorgehensweisen zu zeigen. Diese Beweise solltest du genau studieren, um das zu lernen, und dann für Deine Aufgaben imitieren.

In Deinem ersten Beispiel ist das eigentlich einfach: Setze die Definitionen ein und forme mit den gegebenen Eigenschaften um, bis das gewünschte Ziel dasteht. Ein genereller Trick dabei: Auf der rechten und linken Seite teilweise ausmultiplizieren und dann vergleichen, ob dasselbe herauskommt. Ist oft einfacher, als zu versuchen, geschickt auszuklammern.  Im zweiten Durchgang kannst Du dann das Ausmultiplizieren rückwärts aufschreiben, um eine elegante Beweisführung zu erhalten.  Bei Mehrfachsummen will man das aber nicht machen, da muss man in der Regel die Summationsreihenfolge vertauschen und dann ausklammern, um einen Rechenfortschritt zu erzielen.

Allgemein gilt: Beweise, die man im Buch oder Skript sieht und bei denen man sich fragt, wie man darauf kommt, sind selten direkt so, wie aufgeschrieben, gefunden worden. Im ersten Schritt ist beim Beweisen alles erlaubt, um eine Idee zu finden.  Danach erst arbeitet man an einer eleganten Darstellung, die alle Umwege vermeidet.  So schreibt man oft einen Beweis mehrmals auf, bis er gut ist.

Im zweiten Beispiel solltest Du \(V\) auf zwei Arten berechnen, nämlich einmal mit der angegeben Formel mit dem Kreuzprodukt, und einmal mit der im Text angegebenen Formel.  Dann zeigt man, dass dasselbe herauskommt.