Hallo,
tut mir Leid das es dieses mal etwas länger gedauert hat. Wenn du
\( g(t) = \frac 1 {2\pi} \int_0^{\pi} \frac {f(x-t) - f(x)} {t} dt \)
setzt und \( \lambda = 2n+1 \), kommst du ja schon fast auf die Form für das Lemma von Lebesgue. Dein Integral wird dann zu
\( \frac 1 {2\pi} \int_0^{\pi} g(t) \frac { \frac t 2} {\sin(\frac t 2)} \sin(\lambda \frac t 2) dt \)
In der Mitte steht der Bruch der den Grenzwert 1 hat. Jetzt müssen wir uns nur überlegen, wieso für diesen Bruch \( t \to 0 \) gehen soll. Da bin ich mir gerade auch sehr unsicher.
Grüße Christian
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Das mit den Integralgrenzen ist eine wirklich gute Idee. Aber leider bekommen wir das Integral nicht separiert. Wir müssten auch die Ableitung davon integrieren, damit am Ende in diesen Bruch die Integralsgrenze eingesetzt wird.
Ich versuche mich deshalb schon die ganze Zeit darin ob man durch die partielle Integration solche Terme erzeugen kann, die dann durch die oberen Angaben konvergieren und wegfallen. Vielleicht hast du da eine Idee. Ich überlege mal noch weiter bin noch zu keinen vernünftigen Schluss gekommen.
Ich sehe aber auch gerade, das mein \( g(t) \) so gar nicht stimmt. ich habe die Funktion ja mit dem Integral definiert. aber natürlich ist es nur der innere Teil.
\( g(t) = \frac {\tilde{f}(x-t) - \tilde{f}(x)} { \frac t 2 } \)
─ christian_strack 30.04.2019 um 15:04
Habt ihr das Lemma so wie du oben formuliert? Ich finde es nämlich allgemein mit messbaren Funktionen. Dort heißt es das für eine messbare Funktion mit
\( \int_{\infty}^{\infty} \vert f(x) \vert dx < \infty \)
die Fouriere-Transformierte im unendlichen verschwindet.
Nun wird in dem ersten Teil des Beweises erklärt, das unsere Funktion punktweise konvergent ist. Es gibt einen Satz der sagt, das alle punktweise konvergenten Funktionen insbesondere messbar sind. Also haben wir schon mal eine messbare Funktion vorliegen.
Im zweiten Teil wird argumentiert, das die Funktion integrierbar ist. Das ist gleichbedeutend mit
\( \int_{\infty}^{\infty} \vert f(x) \vert dx < \infty \)
Somit würde ich sagen, das hier die Grundvoraussetzung des Lemmas bewiesen werden.
Ich hoffe das hilft dir noch weiter. ─ christian_strack 09.05.2019 um 15:52
mich wundert halt, das der Tipp in dem buch sin t/t ist, wir aber auf t/ sin t kommen.. ─ ikeek 30.04.2019 um 06:55