Du hast bereits richtig erkannt, dass du nur die Hälfte der Fläche berehchnen musst, damit brauchst du auch nur einen (ich nehmen den positiven/rechten) Schnittpunkt.

Zuerst bestimmst du diesen:

\(f(x)=g(x)\)

\(x^2=-x^2+k\)

\(2x^2=k\)

\(x=\pm\sqrt{\frac{k}{2}}\)

Ich nehme nur \(x=\sqrt{\frac{k}{2}}\)

Gesucht ist:

\(A=2*\int\limits_0^{\sqrt{k/2}}(g(x)-f(x))dx=1\)

Du bildest die Stammfunktionen:

\(F(x)=\frac{1}{3}x^3\)

\(G(x)=-\frac{1}{3}x^3+kx\)

Jetzt kannst du einsetzen:

\(A=2*(G(\sqrt{k/2})-G(0)-(F(\sqrt{k/2}-F(0))))\)

Du erkennst dabei:

\(G(0)=F(0)=0\)

Somit:

\(2*(G(\sqrt{k/2})-F(\sqrt{k/2}))=1\)

\(G(\sqrt{k/2})-F(\sqrt{k/2})=\frac{1}{2}\)

Jetzt setzt du in die Stammfunktionen ein:

\(-\frac{1}{3}(\sqrt{k/2})^3+k\sqrt{k/2}-\frac{1}{3}(\sqrt{k/2})^3=0.5\)

Du kannst zusammenfassen:

\(-\frac{2}{3}\sqrt{k/2}^3+k\sqrt{k/2}=0.5\)

Du kannst ausklammern:

\(\sqrt{k/2}(-\frac{2}{3}\sqrt{k/2}^2+k)=0.5\)

Dies vereinfacht sich zu:

\(\sqrt{k/2}(\frac{-k}{3}+k)=0.5\)

\(\sqrt{k/2}\frac{2k}{3}=0.5\)

\(\frac{2}{3}k\sqrt{k/2}=0.5\)

\(k\sqrt{k/2}=\frac{3}{4}\)

Jetzt quadrieren wir beide Seiten sodass weiter aufgellöst werden kann:

\(k^2*\frac{k}{2}=\frac{9}{16}\)

\(\frac{k^3}{2}=\frac{9}{16}\)

\(k^3=\frac{18}{16}\)

\(k=\sqrt[3]{\frac{18}{16}}=\sqrt[3]{\frac{9}{8}}=\frac{\sqrt[3]{9}}{2}\approx1.04\)