Es gibt einen relativ schönen Weg, den man aber eigentlich nicht sehen kann. Setze $$I(\alpha)=\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^4+2x^2\cos(2x)+1}.$$ Wir sind interessiert am Wert von \(I(\frac\pi4)\). Substituiert man \(t=\frac1x\), erhält man $$I(\alpha)=\int_{-\infty}^\infty\frac{t^2\,dt}{t^4+2t^2\cos(2\alpha)+1}.$$ Addiert man die beiden Ausdrücke für \(I(\alpha)\), kommt man auf $$I(\alpha)=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{(1+x^2)\,dx}{x^4+2x^2\cos(2x)+1}.$$ Jetzt faktorisiert man den Nenner: \(x^4+2x^2\cos(2x)+1=(x^2-2x\sin\alpha+1)(x^2+2x\sin\alpha+1)\). Weiter ist \(\int_{-\infty}^\infty\frac{-2x\sin\alpha}{x^4+2x^2\cos(2\alpha)+1}\,dx=0\). Damit erhalten wir $$I(\alpha)=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{1+x^2}{(x^2-2x\sin\alpha+1)(x^2+2x\sin\alpha+1)}\,dx-\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{-2x\sin\alpha}{x^4+2x^2\cos(2\alpha)+1}\,dx=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^2+2x\sin\alpha+1}.$$ Dieses Integral ist Standard und einfach zu berechnen. Dann nur noch \(\alpha=\frac\pi4\) einsetzen und fertig.
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Edit:
Wie ich gerade "sehe", kann man auch ohne PBZ auf Umformungen kommen. Das macht aber nur Sinn, wenn man schon ungefähr weiß wo man hin soll. Und sowieso etwas Erfahrung mitbringt.
Sicher keine Schönheit^^. ─ orthando 25.11.2020 um 14:36