hallo community!

nachdem ich mich über diverse quellen über das thema gebrochenrationale funktionen belesen habe, wollte ich etwas dazu erfragen:

wenn ich die senkrechten polstellen mittels null- setzen des nenner- polynoms bestimme, ist es doch sinnvoll auch (immer) die nullstellen dieses funktionstypen mittels null- setzen des zähler-polynoms. denn es könnten schliesslich gemeinsame nullstellen auftreten. dies würde einen mathematischen wiederspruch zufolge haben (nach meinem verständnis). denn eine nullstelle der funktion kann einfach nicht gleichzeitig eine senkrechte asymtote sein (denn an diese schmiegt sich der graph an und durchkreuzt sie nicht, wie eben bei einer nullstelle).

daher die oben aufgeworfene frage: die nullstellen des zählers als auch des nenners bestimmen, falls vorhanden, zählerpolynom und das nennerpolynom in seine linearfaktoren zerlegen und so die funktion darstellen. nun kürzt man die gemeinsamen linearfaktoren raus und schreibt den rest neu auf (rest der funktion). dieses ganze vorgehen beschreibt doch das beheben der definitionslücke, oder? also hebar.

danach multipliziere ich die faktoren oben und unten aus und bewerte die restfunktion neu (die 4 fälle mit den höchsten potenzen von x). sofern ich dann feststellen sollte das das zählerpolynom um genau 1 potenz höher ist als das zählerpolynom, so führe ich eine polinomdivision aus, um die schiefe asymptote zu erechnen (mit oder ohne rest spiel ja keine rolle. der rest im ergebnis wird nicht berücksichtigt bei der bestimmung der asymptotengleichung. so jedenfalls wurde es mir beigebracht).

was passiert eigentlich, wenn die höchste zählerpotenz von x nicht nur um genau 1 höher ist, sondern um 2 oder höher?

liege ich da richtig?