Folgt aus der Richtungsableitung in jedem Punkt die Differenzierbarkeit in jedem Punkt?

Aufrufe: 433     Aktiv: 12.01.2021 um 12:58
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Man nennt diese Eigenschaft Gateaux-Differenzierbarkeit. Es folgt nicht notwendig Differenzierbarkeit, wie dieses Bsp. (im Punkt \((0,0)\)) zeigt:  \begin{equation*}
    f(x,y):=
    \begin{cases}
      \frac{x^3y}{x^4+y^2}&\qquad (x,y)\neq(0,0)\\
      0&\qquad(x,y)=(0,0).
    \end{cases}
  \end{equation*}
Die Gateaux-Differenzierbarkeit in \((0,0)\) ist einfach zu zeigen. Nicht so einfach ist es, zu zeigen, dass \(f\) in \((0,0)\) nicht differenzierbar ist. Probier mal.

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Hey vielen Dank für die Antwort! Tatsächlich haben wir in einer Aufgabe davor schon gezeigt dass eine ähnliche Funktion die Eigenschaft hat in (0,0) nicht differnzierbar zu sein, obwohl die Richtungsableitungen existieren. Das macht mich jedoch noch stutziger. Warum sollte man dann diese Aufgabe nochmal stellen?   ─   integrationboy 12.01.2021 um 12:49
Vielleicht war die andere Funktion in \((0,0)\) nicht Gateaux-differenzierbar. Dazu müssen die Richtungsableitungen *linear* von der Richtung abhängen.   ─   slanack 12.01.2021 um 12:58

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