Zeigen, dass gegebene Vektoren eine Basis eines Vektorraumes bilden

Aufrufe: 500     Aktiv: 22.12.2020 um 18:11
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Sei B Teilmege von V eine Basis von V. Zeigen Sie, dass dann die Vektoren (b,0) aus V^C für b aus B eine Basis von V^C bilden. 

V ist ein reeller Vektorraum une V^C=V×V. C sollen die komplexen Zahlen sein ( ich weiß leider nicht, wie man die ganzen Symbole macht)

Ich weiß, dass V^C für V= Relle Zahlen gerade die komplexen Zahlen sind, aber wie genau man das was oben steht zeigt, weiß ich leider nicht.

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Student, Punkte: 40

 
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Wichtig ist, dass Dir die genaue Definition der Multiplikation mit Skalaren aus \(\mathbb{C}\) in \(V^{\mathbb{C}}\) klar ist, denn darauf beruht alles. Wenn Du die verstanden hast, dann zeige die nötigen Eigenschaften dafür, dass \(\{(b,0)|b\in B\}\) eine Basis von \(V^{\mathbb{C}}\) ist. Diese solltest Du ja kennen.

Ich helfe gerne weiter, wenn das nicht reicht.

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Lehrer/Professor, Punkte: 4K

 
Super danke erstmal! Was ich nicht ganz verstehe ist, was die Dimension von V^C ist ? Ich habe irgendwo gelesen, dass V^C unendlich dimensional sein soll. Das verstehe ich nicht ganz, weil (b,0) ist ja offensichtlich eine Basis von V^C, aber alle Basen sind doch gleich mächtig oder nicht? Jetzt bin ich verwirrt:(   ─   algebrafuchs 22.12.2020 um 14:46
Wenn \(B^{\mathbb{C}}:=\{(b,0)|b\in B\}\), dann ist die Abbildung \(B\to B^{\mathbb{C}}\) mit \(b\mapsto (b,0)\) eine Bijektion (warum?). Die beiden Basen haben also dieselbe Mächtigkeit. Wenn \(\dim_{\mathbb{R}} V=\infty\) ist, dann gilt also auch \(\dim_{\mathbb{C}}V^{\mathbb{C}}=\infty\).   ─   slanack 22.12.2020 um 17:19
Wie man die Bijektivität zeigt muss ich mir nochmal anschauen, aber ansonsten sehr hilfreich, danke:)   ─   algebrafuchs 22.12.2020 um 18:11

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