Hallo,

in einer Gruppe sind das neutrale Element und das Inverse eindeutig. Aus der Gleichung 

$$x\cdot x=x$$

würde aber hervorgehen, dass \(x\) das neutrale Element ist, was im Widerspruch dazu steht, dass \(e\) das neutrale Element ist. Was theoretisch erstmal möglich wäre, ist, dass 

$$x\cdot x=e$$

gilt, was in einer zweielementigen Gruppe auch der Fall ist. Dann dürfte aber, wegen der Eindeutigkeit des Inversen, nicht

$$x\cdot y=e$$

gelten. Das bedeutet, es gilt:

$$x\cdot y=x\quad\text{oder}\quad x\cdot y=y.$$

Im ersten Fall wäre aber \(y\) ein neutrales Element und im zweiten Fall wäre \(x\) ein neutrales Element, was ein Widerspruch dazu ist, dass \(e\) das neutrale Element ist. Da also weder \(x\cdot x=x\) noch \(x\cdot x=e\) gelten kann, muss:

$$x\cdot x=y$$

gelten.

Analog folgt \(y\cdot y=x\). Für \(x\cdot y\) und \(y\cdot x\) kann natürlich nur das neutrale Element \(e\) herauskommen, was wir eben schon gesehen haben. Das heißt jede dreielementige Gruppe ist abelsch und isomorph zu \((\mathbb{Z}_3,+)\). 

Alles klar? :)