Hallo

Ich müsste folgende Aussage beweisen:

Sei A eine Teilmenge der rationalen Zahlen. Das Supremum von A ist gegeben durch \(s=sup(A)\).
Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen ein a ∈ A existiert, so dass \(a>s-\frac{1}{n}\).

Ich hätte das ganze wie folgt bewiesen, jedoch bin ich bei meinem zweiten Teil unsicher, ob dies so gültig ist, wenn nein könnte mir jemand einen Tipp geben, wie es richtig geht?

Beweis:

Da a<=s-1/n gelten sollte für alle a Element aus A, würde dies bedeuten, dass es eine kleinere obere Schranke gäbe mit s'<s wobei wir s'=s-1/n definieren könnten (für alle n der Natürlichen Zahlen). Daraus folgt aber, dass a<=s' wäre, dies widerspricht jedoch der Definition des supremums (s), da dort für alle s'<s gilt, dass es ein a Element aus A gibt mit s'<a. Hier haben wir also den Widerspruch, was bedeutet, dass ein solches a existiert.

tönt das besser?