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Sei zunächst \(n\in\mathbb{N}\) fest. Für alle \(k\ge n\) gilt dann \[x_k\le\sup_{\ell\ge n}x_\ell\] und \[y_k\le\sup_{\ell\ge n}y_\ell.\] Weil die Folgen nichtnegativ sind, folgt für alle \(k\ge n\): \[x_ky_k\le\left(\sup_{\ell\ge n}x_\ell\right)\left(\sup_{\ell\ge n}y_\ell\right).\] Versuche, von hier aus mit der Definition des Limes superior weiter zu machen.
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slanack
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