Deine Idee ist im Prinzip schon ganz gut. Es mangelt nur an der Ausführung.

Wir betrachten die Funktion \( h: [0,1] \to \mathbb{R} \) mit \( h(x)=g(x)-g(x+1) \).

Da \( g \) stetig ist, muss somit auch \( h \) stetig sein.

Nun gilt \( h(0)=g(0)-g(1) = g(2) - g(1) = - ( g(1) - g(2) ) = - h(1) \). Also haben \( h(0) \) und \( h(1) \) unterschiedliche Vorzeichen. Da \( h \) stetig ist, muss es nach dem Zwischenwertsatz also ein \( x_1 \in [0,1] \) geben, sodass \( h(x_1) = 0 \) ist. Oder anders ausgedrückt \( g(x_1) = g(x_1+1) \).

Wählen wir nun \( x_2 = x_1 + 1 \), dann haben wir somit \( x_1, x_2 \in [0,2] \) gefunden mit \( \vert x_1 - x_2 \vert = 1 \) und \( g(x_1) = g(x_2) \).

Des würd ich auch wissen.

Deine Idee ist schon gut und richtig, bei der Ausführung hast Du Dich aber verstrickt.

x_1 kennen wir nicht, es kann also kein Teil der Def. von h sein. Eine richtige Def. (es gibt auch andere richtige) von h ist h(x)=g(x)-g(x-1). Diese meintest Du wohl (aber richtig gemeint reicht nicht in der Mathematik, muss auch richtig geschrieben sein).

Nun weiter wie folgt: Defbereich von h feststellen. Zwei Stellen in diesem Defbereich finden, deren h-Werte versch. Vorzeichen haben (denn dann greift der ZWS für Nullstellen). Damit alles klar? Sonst nochmal fragen.