Man ist das lange her ;)

Mach einfach die vollständige Induktion, sprich "zeigen für n=1", "zeigen für n=2" und schließlich "zeigen für n->n+1".
n=1 und n=2 sollten ja klar sein, für n->n+1 formst Du jede Seite für sich wieder um, so daß du dastehen hast:
 \((\sum_{k=1}^{2n-1} \frac {(-1)^(k+1)} {k}) + a = (\sum_{k=n}^{2n-1} \frac {1} {k}) + b\)
Nun zeigst Du noch, daß a = b ist und bist fertig.
a und b mußt Du natürlich bestimmen, das sind aber nur jeweils einzelne Terme aus den Summen ausgeklammert damit die Summen wieder den ursprünglichen Summen entsprechen.