Vollständige Induktion

Aufrufe: 67     Aktiv: 1 Tag, 8 Stunden her

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Guten Morgen zusammen,

den Induktionsanfang und die Vorraussetzung habe ich. Nur leider komme ich nicht auf den Induktionsschluss.

Kann mir da bitte jemand helfen?

gefragt 1 Tag, 13 Stunden her
xxstudentxx
Punkte: 27

 
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2 Antworten
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Zunächst einmal hast du einen Fehler im Induktionsschritt gemacht. Das letzte Glied deiner Summe ist \((2(n+1)-1)^3=(2n+2-1)^3=(2n+1)^3\neq (2n+2)^3\)

Wenn du bei einer Induktion nicht mehr weiter kommst, kannst du quasi von hinten heran gehen, also von da aus starten, wo du eigentlich hinkommen willst und so lange umformen bis du den Zusammenhang findest. Bei deinem Term würde ich empfehlen einfach von beiden Richtingen aus auszumultiplizieren. Dann kommst du auf den gleichen Term, also quasi dein Verbindungsstück zwischen Anfang und Ende des Induktionsschritts. Aufschreiben solltest du es aber in  chronologisch, also wie folgt:

\(5^3+7^3+\ldots (2n-1)^3 +(2n+1)^3 \overset{IV}{=} n^2(2n^2-1)+(2n+1)^3-28=\ldots \ldots =2n^4+8n^3+11n^2+6n+1-28=(2n^4+4n^3+n^2)+(4n^3+8n^2+2n)+(2n^2+4n+1)-28=n^2\cdot (2n^2+4n+1) +2n\cdot (2n^2+4n+1)+ 1\cdot (2n^2+4n+1)-28=(n^2+2n+1)\cdot (2n^2+4n+1)-28=(n+1)^2 \cdot \Big{(} 2(n+1)^2-1\Big{)}-28\)

Die letzten Schritte habe ich quasi Rückwärts gemacht. Du muss durch ausmultiplizieren jetzt eigentlich nur noch die Lücke der Rechnung füllen und auf den angegebenen Term kommen.

 

Hoffe das hilft dir weiter.

geantwortet 1 Tag, 10 Stunden her
maqu
Punkte: 2.01K
 

Vielen Dank, hilft mehr sehr weiter. Es ist ja gegeben n größer/gleich 3, muss ich dann trotzdem n+1 einsetzen, das hat mich irritiert.   ─   xxstudentxx 1 Tag, 9 Stunden her

Ja du machst den Induktionsschritt immer für \(n+1\). Das \(n\geq 3\) hat nur Einfluss auf den Induktionsanfang, welchen du dann für \(n=3\) statt sonst üblich für \(n=1\) machen musst.   ─   maqu 1 Tag, 8 Stunden her
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\(\sum_{i=3}^{n+1}(2n-1)^3=\sum_{i=3}^n (2i-1)^3+(2n+1)^3=n^2(2n^2-1)-28+(2n+1)^3=\)

\(=2n^4 -n^2-28+8n^3+12n^2+6n+1=2n^4+8n^3+11n^2+6n-27=(n+1)^2(2(n+1)^2-1)-28\)

geantwortet 1 Tag, 8 Stunden her
gerdware
Lehrer/Professor, Punkte: 945
 
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