Man kann wie folgt vorgehen:

Für \(x,a \in \mathbb{R}\) gilt \( u(x) = u(a) + u^{\prime}(a)(x-a)+\frac{1}{2} u^{\prime \prime}(\xi)(x-a)^2 \) mit einem \(\xi\) zwischen \(x\) und \(a\) (nach der Taylorformel).

Setzen wir hier \(x= \overline{x}-h\) und \(a = \overline{x}\), so erhalten wir \( u(\overline{x}-h) = u(\overline{x}) + u^{\prime}(\overline{x})(-h)+\frac{1}{2} u^{\prime \prime}(\xi_1)h^2 \) bzw. \( \frac{3}{2} u^{\prime}(\overline{x})=\frac{3}{2} \frac{u(\overline{x})-u(\overline{x}-h)}{h}+\frac{3}{4}u^{\prime \prime}(\xi_1)h\) mit \(\xi_1\) zwischen \( \overline{x}\) und \(\overline{x}-h\). (1)

Setzen wir \(x= \overline{x}-2h\) und \(a = \overline{x}-h\), so erhalten wir \( u(\overline{x}-2h) = u(\overline{x}-h) + u^{\prime}(\overline{x}-h)(-h)+\frac{1}{2} u^{\prime \prime}(\xi_2)h^2 \) bzw. \(-\frac{1}{2} u^{\prime}(\overline{x}-h)=\frac{1}{2} \frac{u(\overline{x}-2h)-u(\overline{x}-h)}{h}-\frac{1}{4}u^{\prime \prime}(\xi_2)h\) mit \(\xi_2\) zwischen \( \overline{x}-2h\) und \(\overline{x}-h\). (2)

Nun wenden wir uns der Ableitung zu. Für \(x,a \in \mathbb{R}\) gilt \( u^{\prime}(x)= u^{\prime}(a)+ u^{\prime \prime}(\xi)(x-a)\) mit einem \( \xi\) zwischen \(x\) und \(a\) (wieder nach der Taylorformel).

Setzen wir \(x=\overline{x}-h\) und \(a=\overline{x}\), so erhalten wir \( u^{\prime}(\overline{x}-h)= u^{\prime}(\overline{x})+ u^{\prime \prime}(\xi_3)(-h)\) mit einem \( \xi_3\) zwischen \(\overline{x}-h\) und \(\overline{x}\). Eingesetzt in (2) und etwas umgeformt ergibt dies \(-\frac{1}{2} u^{\prime}(\overline{x})=\frac{1}{2} \frac{u(\overline{x}-2h)-u(\overline{x}-h)}{h}+(-\frac{1}{4}u^{\prime \prime}(\xi_2)-\frac{1}{2}u^{\prime \prime}(\xi_3))h\). (3)

Addieren von (1) und (3) ergibt nun \( u^{\prime}(\overline{x})= \frac{3u(\overline{x})-4u(\overline{x}-h)+u(\overline{x}-2h)}{2h}+(\frac{3}{4}u^{\prime \prime}(\xi_1)-\frac{1}{4}u^{\prime \prime}(\xi_2)-\frac{1}{2}u^{\prime \prime}(\xi_3))h\).