Hey, in dem Grenzwert von links kannst du eben x nicht einfach einsetzen. Wenn du das tust gehst du davon aus, dass der Grenzwert von links gleich x ist und damit schon von linksseitiger Stetigkeit! 

Für jede Umgebung \( U_{\epsilon}(x) \) von \( x\in \mathbb{N} \)  findest du allerdings Werte \( x' \) für die gilt: \( \vert f(x) - f(x') \vert =1 \) und damit kann die Funktion nicht stetig sein! 

Der linksseitige Grenzwert bedeutet eine unendliche Annäherung, aber eben kein Einsetzen von x! 

Generell muss man sehr sehr vorsichtig sein wann man in Grenzwerten einfach den Wert einsetzen kann an den man sich anzunähern versucht! Eben nur wenn man eine Stetigkeit und eine Definiertheit auf der Stelle bereits vorliegen hat! Sonst ist es eben wirklich nur ein *Grenzwert*!

Deine Argumentation funktioniert zwar bei \( \frac{1}{2} \), aber nicht mehr bei ganzzahligen Werten. Tatsächlich ist \( f \) in jeder ganzen Zahl unstetig. 

Betrachten wir irgendeine ganze Zahl \( z \in \mathbb{Z} \). Dazu wählen wir uns jetzt eine Folge \( (z-\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}} \). Offensichtlich gilt \( \lim_{n \to \infty} z-\frac{1}{n} = z \). Wenn nun \( f \) in \(z\) stetig wäre, dann müsste somit auch \( \lim_{n \to \infty} f(z-\frac{1}{n}) = f(z) \) sein. Es ist aber \( \lim_{n \to \infty} f(z-\frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} z-1 = z-1 \) und \( f(z)=z \). Also ist \( f \) in \( z \) unstetig.

Im Prinzip kann man so argumentieren wie deine Kommilitonen. Man muss dafür allerdings topologisch korrekt vorgehen. Mir fallen auf die Schnelle drei Aussagen ein, die man hier heranziehen könnte.

1. Möglichkeit: Das stetige Bild einer zusammenhängenden Menge ist wieder zusammenhängend. Weil \( \mathbb{R} \) zusammenhängend, aber das Bild \( f(\mathbb{R}) = \mathbb{Z} \) nicht zusammenhängend ist, kann \(f\) somit nicht stetig sein.

2. Möglichkeit: Stetige Urbilder abgeschlossener Mengen sind wieder abgeschlossen. Weil \( \{0\} \) abgeschlossen, aber das Urbild \( f^{-1}(\{0\}) = [0,1) \) nicht abgeschlossen ist, kann \( f \) somit nicht stetig sein.

3. Möglichkeit: Zwischenwertsatz. Wenn \(f\) stetig wäre, dann müsste es wegen \( f(0)=0 \) und \( f(1)=1 \) nach dem Zwischenwertsatz ein \( x \in [0,1] \) geben mit \( f(x)=\frac{1}{2} \). Da \(f\) aber nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist das nicht möglich. \(f\) kann also nicht stetig sein.