Stetigkeit einer Funktion untersuchen

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Guten Tag, 

Ich soll die im Bild stehende Funktion f auf Stetigkeit untersuchen, nun bin ich der Meinung, dass f stetig ist, fast alle meine Mitstudenten sagen jedoch, f sei unstetig. 

Meine Denkweise ist, dass f stetig ist, weil wenn man sich einem beliebigen x annähert von links und rechts, kann man x ja direkt in f einsetzen um den Grenzwert an dieser Stelle zu berechnen, das direkte Einsetzen geht, da man keine Division durch 0 oder ähnliche Probleme verursacht. Wenn man dann also x direkt einsetzt, ist natürlich der linke und rechte Grenzwert gleich und damit auch gleich dem "insgesamten" Grenzwert an der Stelle x und ebenfalls ist der Grenzwert dann gleich dem Funktionswert an der Stelle x, d.h. dann ist f an der Stelle x stetig. Wenn ich mich jetzt einer rationalen Zahl annähere, z.B 1/2, dann könnte ich ja wieder diesen Wert direkt in f einsetzen und erhalte so von beiden Seiten f(x) = 0 als Grenzwert, bezogen auf das Beispiel mit x = 1/2, und das würde ja mit jedem x aus R funktionieren, daher denke ich, dass f stetig ist.

Meine Mitstudenten argumentieren jedoch, dass f ständig springen würde, bzw. "durchlöchert" wäre, da ja f nur ganze Zahlen als Werte annehmen kann und daher nicht "durchgehend" in R ist, soweit ich verstanden habe, reicht diese Argumentation, mit dem "durchlöchert" sein einer Funktion nicht aus, um Stetigkeit zu widerlegen.

Nun hoffe ich, in diesem Forum vielleich noch ein paar Meinungen zu bekommen und sollte ich falsch liegen mit meiner Argumentation, wäre ich für eine Benennung der Fehler und Korrigierung ebendieser sehr dankbar!

gefragt 2 Tage, 9 Stunden her
anonym
Punkte: 12

 
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3 Antworten
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Für alle \(x_0 \in Z\) gilt: \(x_n=x_0+\frac{1}{n}=>f(x_n)=x_0\) aber \(y_n)=x_0-\frac{1}{n}=>f(y_n=x_0-1\) . Darau folgt die Unstetigkeit von f in allen ganzen Zahlen

geantwortet 2 Tage, 8 Stunden her
gerdware
Lehrer/Professor, Punkte: 945
 
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Hey, in dem Grenzwert von links kannst du eben x nicht einfach einsetzen. Wenn du das tust gehst du davon aus, dass der Grenzwert von links gleich x ist und damit schon von linksseitiger Stetigkeit! 

Für jede Umgebung \( U_{\epsilon}(x) \) von \( x\in \mathbb{N} \)  findest du allerdings Werte \( x' \) für die gilt: \( \vert f(x) - f(x') \vert =1 \) und damit kann die Funktion nicht stetig sein! 

Der linksseitige Grenzwert bedeutet eine unendliche Annäherung, aber eben kein Einsetzen von x! 

Generell muss man sehr sehr vorsichtig sein wann man in Grenzwerten einfach den Wert einsetzen kann an den man sich anzunähern versucht! Eben nur wenn man eine Stetigkeit und eine Definiertheit auf der Stelle bereits vorliegen hat! Sonst ist es eben wirklich nur ein *Grenzwert*!

geantwortet 2 Tage, 8 Stunden her
jojoliese
Student, Punkte: 1.73K
 

Weil die zweite Antwort einen eher topologischen Ansatz für die Unstetigkeit liefert auch nochmal zu meiner Erklärung: ich benutze die epsilon-delta-definition für Stetigkeit und weil wir für mindestens ein x die Differenz der Funktionswerte in der Umgebung nicht beliebig klein machen können ist die nicht erfüllt   ─   jojoliese 2 Tage, 8 Stunden her
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Deine Argumentation funktioniert zwar bei \( \frac{1}{2} \), aber nicht mehr bei ganzzahligen Werten. Tatsächlich ist \( f \) in jeder ganzen Zahl unstetig. 

Betrachten wir irgendeine ganze Zahl \( z \in \mathbb{Z} \). Dazu wählen wir uns jetzt eine Folge \( (z-\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}} \). Offensichtlich gilt \( \lim_{n \to \infty} z-\frac{1}{n} = z \). Wenn nun \( f \) in \(z\) stetig wäre, dann müsste somit auch \( \lim_{n \to \infty} f(z-\frac{1}{n}) = f(z) \) sein. Es ist aber \( \lim_{n \to \infty} f(z-\frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} z-1 = z-1 \) und \( f(z)=z \). Also ist \( f \) in \( z \) unstetig.

Im Prinzip kann man so argumentieren wie deine Kommilitonen. Man muss dafür allerdings topologisch korrekt vorgehen. Mir fallen auf die Schnelle drei Aussagen ein, die man hier heranziehen könnte.

1. Möglichkeit: Das stetige Bild einer zusammenhängenden Menge ist wieder zusammenhängend. Weil \( \mathbb{R} \) zusammenhängend, aber das Bild \( f(\mathbb{R}) = \mathbb{Z} \) nicht zusammenhängend ist, kann \(f\) somit nicht stetig sein.

2. Möglichkeit: Stetige Urbilder abgeschlossener Mengen sind wieder abgeschlossen. Weil \( \{0\} \) abgeschlossen, aber das Urbild \( f^{-1}(\{0\}) = [0,1) \) nicht abgeschlossen ist, kann \( f \) somit nicht stetig sein.

3. Möglichkeit: Zwischenwertsatz. Wenn \(f\) stetig wäre, dann müsste es wegen \( f(0)=0 \) und \( f(1)=1 \) nach dem Zwischenwertsatz ein \( x \in [0,1] \) geben mit \( f(x)=\frac{1}{2} \). Da \(f\) aber nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist das nicht möglich. \(f\) kann also nicht stetig sein.

geantwortet 2 Tage, 8 Stunden her
anonym
Student, Punkte: 4.3K
 
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