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Zu (a):
Du kannst ja jeden Punkt a der Gerade als \( a = u +\lambda w \) darstellen.
Wenn du das in die Funktion einsetzt folgt aus Additivität und Homogenität der Linearen Abbildung:
\( L(u + \lambda w) = L(u) + \lambda L(w) \)
Hier sind wieder \( L(u), L(w) \in R^{m} \) fest, da u und w fest gewählt sind. Damit hast du wieder die Form einer Gerade, jetzt in \( R^{m}\), bzw. wenn L(w) = 0 ist hast du einen Punkt als Bildmenge.
Zu (b):
Wenn die Geraden 1 und 2 parallel sind ist \(w_{1} = a \cdot w_{2}, a \in R \), also die Geraden haben die gleiche Richtung.
Diese Formel kannst du dann in eine der Geraden einsetzen und dann die Bildmenge beider Geraden wieder mit den Eigenschaften Additivität und Homogenität der linearen Abbildung umformen und kommst wieder auf gleiche Richtungen für die Bildgeraden.
Ich bin mir gerade nicht sicher wozu man die Invertierbarkeit und gleiche Dimension braucht. Aber vielleicht bringt es dich trotzdem schonmal etwas weiter. Vielleicht ergänzt ja noch jemand diese letzte Überlegung.
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Macht Sinn, danke :)
─ jojoliese 13.03.2019 um 17:49Sehr gerne :)
@Jojoliese sehr schöne Grundlage.
Grüße Christian
─ christian_strack 13.03.2019 um 19:03Vielen Dank für die schnelle Antwort & Hilfe.
Ich werde es jetzt nochmals versuchen. Sollte ich nicht mehr weiterkommen würde ich mich nochmals melden.
Grüße
wizz
─ wizzlah 13.03.2019 um 19:14Ich habe speziell jetzt die Teilaufgabe b nochmals versucht durchzugehen. Grundsätzlich ist es mir denke ich mal klar geworden worum es geht. Es ist nur so, dass ich gerade bei "Zeigen Sie:" Aufgaben Schwierigkeiten habe den erwünschten Beweis zu bringen.
Ich habe mal noch versucht eine Skizze zu machen mit dem Ansatz, falls n = m nicht gelten würde.
Und bei der Umkehrabbildung ist es so, dass die "resultierende Abbildung" sich selbst abbildet? Also so wie du sagtest wieder die ursprüngliche Gerade in diesem Fall?
Sorry, wenn mir das noch nicht so klar geworden ist wie es vielleicht sein sollte anhand eurer Tipps, aber mit diesem Thema muss ich ein wenig mehr grübeln als sonst ;-)
Liebe Grüße
Wizz
─ wizzlah 13.03.2019 um 20:03Das was ich gesagt hatte war nur ein Beispiel damit man es sich besser vorstellen kann. Den Beweis musst du ganz allgemein angehen.
Ich denke ich würde den Beweis folgendermaßen aufziehen:
Du startest mit der Aussage von Jojoliese. Dann würde ich direkt auf die Invertierbarkeit eingehen, dass es eben eine Abbildung geben muss, die unserer resultierenden Geraden wieder auf die ursprünglichen Gerade abbilden muss. Diese Abbildung muss dann die Inverse sein. Dadurch das eine Inverse existieren muss, gilt sofort \( n = m \).
Grüße Christian
─ christian_strack 14.03.2019 um 10:46Alles klar vielen Dank :)
─ wizzlah 14.03.2019 um 13:24
Ich denke die beiden Informationen enstehen aus folgender Überlegung.
Nehmen wir eine Abbildung \( L : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \). Nehmen wir zwei parallele Geraden. Jetzt könnte es sein das die eine Gerade weiterhin im \( \mathbb{R}^2 \) liegt, also eine verschwindende \( x_3 \) Komponente hat ( \( x_3 =0 \) ) und die andere aber eine nicht verschwindende \( x_3 \) Komponente hat. Damit wären sie im \( \mathbb{R}^3 \) nicht mehr parallel.
Es ist also nicht gewährleistet, dass die hinzukommende Komponente die selbe ist.
Da n=m gilt muss man auch die resultierenden Geraden wieder auf zwei parallele Geraden abbilden können. Es gibt also auch eine Abbildung die genau die zwei resultierenden parallelen Geraden wieder auf die ursprünglichen Geraden abbildet. Für diese Abbildung nennen wir sie \( K \) gilt dann \( K = L^{-1} \)
Grüße Christian
─ christian_strack 13.03.2019 um 17:42