Wie komme ich auf (x-1)^2, dass ich insgesamt 3 Nullstellen benötige, ist mir bewusst.

Aufrufe: 546     Aktiv: 11.01.2021 um 10:37
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Gibt es da eine Regel, die mir sagt welche Klammer ^2 genommen werden muss?
Habe mir das über ein Video ,,beigebracht'' und bin jetzt etwas ratlos...

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Allgemein hat eine Nullstelle \( x_0 \) eines Polynoms \( f \) die Vielfachheit \(n\), wenn \( x_0 \) auch Nullstelle der ersten \(n-1\) Ableitungen von \( f \) ist, aber keine Nullstelle der \(n\)-ten Ableitung.

Nehmen wir das Beispiel \( f=x^3-3x+2 \).

Es ist \( f(1)=0 \) und auch \( f^\prime(1)=0 \), aber \( f^{\prime \prime}(1) \neq 0 \). Also ist \( 1 \) eine \(2\)-fache Nullstelle von \(f\).

Außerdem ist \( f(-2)=0 \), aber \( f^\prime(-2) \neq 0 \). Also ist \(-2 \) eine \(1\)-fache Nullstelle von \(f\).

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Das Verfahren was angewandt wurde um das Nennerpolynom zu vereinfachen ist die Linearfaktorzerlegung.

 

Zunächst berechnet man die Nullstellen des gegebenen Polynoms, in diesem Fall:

\(x_1=1\)

\(x_2=1\)

\(x_3=-2\)

Nun lässt sich das Polynom wie folgt schreiben:

\(x^3-3x+2=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)^2(x+2)\)

 

Ich hab dir noch ein Video drangepackt zum besseren Verständnis.

 

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Student, Punkte: 885

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Ich verstehe die Doppelnullstelle nicht, warum zwei mal +1
In einem Video habe ich gesehen, dass man die Nullstelle auch über den Satz von Vietta ermitteln kann, ich komme da nämlich auf -1   ─   anna95 10.01.2021 um 19:45
Der Satz von Vieta so wie du ihn dort verwendest gilt nur für quadratische Gleichungen also für Gleichungen in denen die höchste Potenz von x, 2 beträgt. Bei dem Nennerpolynom handelt es sich jedoch um ein Polynom 3. Grades also \(x^3\)   ─   smileyface 10.01.2021 um 19:49
okay, aber wie genau berechne ich die Nullstelle, Polynomdivison klappt auch nicht
und komme mit dem angehängten Video speziell zu dieser Aufgabe leider nicht weiter...   ─   anna95 10.01.2021 um 19:59
Polynomdivision klappt hier definitiv.
Man erhält:
\(x^3-3x+2 : (x-1)=x^2+x-2\)
Daraus folgend die Nullstellen:
\(x_{2,3}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+2}\Rightarrow x_2=1~~~x_3=-2\)   ─   smileyface 10.01.2021 um 20:04
ich hänge dann aber schon beim nächsten schritt..
ich erhalte doch dann
x^3 -3x + 2 : (x-1) = x^2
- x^3 - x^2
--------------
0 -3x + x^2 - hier hänge ich   ─   anna95 10.01.2021 um 20:10
Okay.
Es würde jetzt wie folgt weitergehen:

x^3-3x+2 : (x-1)=x^2
-(x^3-x^2)
-----------
x^2-3x+2 : (x-1)=x^2+x
-(x^2-x)
-----------
-2x+2 : (x-1)=x^2+x-2
-(-2x+2)
-----------
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Ich hoffe das hilt dir. Es lässt sich etwas umständlich aufschreiben.   ─   smileyface 10.01.2021 um 20:14
jetzt hab ichs auch raus... vielen vielen Dank für die Hilfe !   ─   anna95 11.01.2021 um 10:37

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