In Zeilenstufenform schreiben zwei Gleichungen drei Unbekannte

Aufrufe: 567     Aktiv: 11.11.2020 um 10:22
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Hi zusammen, ich habe bei einer linearen Optimierung folgende Gleichungen gegeben: 

x1+x2+x3=1

x1+4x2=3

Jetzt brauche ich die Zeilenstufenform, um es in meine Zielfunktion einsetzen zu können. Kann mir jemand helfen? Wie sieht die Zeilenstufenform hier aus? 

Danke für eure Hilfe 

Johann

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Nun um das GLS auf ZST zu bringen braucht es einen Schritt: II - I (also 2. Gleichung minus 1. Gleichung). Du wirst feststellen, dass deine Lösungen von \(x_3\) abhängen. Dann bekommst du für \(x_2\) eine Lösung in Abhängigkeit von \(x_3\). Damit kommst du dann auf eine Lösung von \(x_1\), ebenfalls in Abhängigkeit von \(x_3\). Versuch es damit erstmal alleine und wenn du dann noch Fragen/Probleme hast, dann meldest du dich! :)

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Student B.A, Punkte: 1.47K

 
Okay, also ist die Zeilenstufenform:
1x1+1x2+1x3=1
3x2-1x3=2

Woran erkenne ich jetzt, dass meine Lösung von x3 abhängt und wie ist der nächste schritt?
   ─   rookie123 11.11.2020 um 08:58
Wie du schon richtig sagst, in der 2. Zeile steht dann \(3\cdot x_2-1\cdot x_3=2\). Das formst du jetzt um, sodass \(x_2\) alleine steht, also machst du:
\(3\cdot x_2-1\cdot x_3=2\) <=> \(3\cdot x_2=2+x_3\) <=> \(x_2=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot x_3\) Somit hängt dein \(x_2\) von \(x_3\) ab.
Mit deinem \(x_2\) findest du dann auch eine Lösung für \(x_1\) in \(x_1 +x_2+x_3= 1\) <=> \(x_1 = 1-x_2-x_3\) :)   ─   kallemann 11.11.2020 um 09:07
Vielen Dank! Alles verständlich bis auf den letzten Schritt. Wieso steht da x2= 1-x2-x3? Ich dachte, dass ich jetzt noch x1 herausfinden muss   ─   rookie123 11.11.2020 um 09:18
Müsste ich jetzt x2 nicht noch einsetzen, um x1 herauszufinden? Vielleicht in die erste Gleichung? Oder wie komme ich an x1?   ─   rookie123 11.11.2020 um 09:21
War natürlich ein Schreibfehler meinerseits, danke ;). Hab ihn korrigiert!   ─   kallemann 11.11.2020 um 09:22
Ja genau, du hast dein \(x_2\) ja gefunden. Dann setzt du das jetzt in die Gleichung \(x_1=1-x_2-x_3\) ein und bekommst so für \(x_1\) ebenfalls eine Lösung in Abhängigkeit von\(x_3\).
Rechne das mal aus und schreibe dann dein Ergebnis hier rein. Ich überprüfe und gebe dir noch Tipps wie man die Lösungsmenge aufschreibt! :)   ─   kallemann 11.11.2020 um 09:23
x1=1/3-2/3x3   ─   rookie123 11.11.2020 um 09:53
Also ich habe \(x_1=\frac{1}{3}-\frac{4}{3}\cdot x_3\).
Ich rechne es dir mal durch: \(x_1=1-x_2-x_3\) mit \(x_2=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot x_3\)
=> \(x_1=1-x_2-x_3\) <=> \(x_1=1-(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot x_3)-x_3\) <=> \(x_1=1-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\cdot x_3-x_3\) <=> \(x_1=1-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\cdot x_3-\frac{3}{3}\cdot x_3\) <=> \(x_1=\frac{1}{3}-\frac{4}{3}\cdot x_3\)   ─   kallemann 11.11.2020 um 10:06
achso ja, vielen Dank für deine Erklärung und Geduld bin heute morgen irgendwie mit dem Kopf woanders und sonst auch deutlich besser :)   ─   rookie123 11.11.2020 um 10:11
Alles gut, weisst du wie man die Lösungsmenge von dem GLS dann sauber aufschreibt?   ─   kallemann 11.11.2020 um 10:13
Wenn nicht, dann hier ein sauberer Aufschrieb:
\(\mathbb{L}=\left \{ \begin{pmatrix}
\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}
\\ 0
\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
-\frac{4}{3}\\ \frac{1}{3}
\\ 1
\end{pmatrix}\cdot x_3 |x_3\in\mathbb{R}\right \}\)   ─   kallemann 11.11.2020 um 10:17
Hab ich auch so, danke!   ─   rookie123 11.11.2020 um 10:22

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