Moin!
Ich hab' mich gerade mal durch meine Literatur gewühlt und ich bin in

Papula, Lothar (2011): Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler - Band 3: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung, 6. Auflage. Vieweg + Teubner Verlag.

fündig geworden (im Abschnittt 6.4 "Gauß'sche Normalverteilung", ab Seite 371).

Es handelt sich hierbei also nicht um ein Problem der Binomialverteilung (BV), sondern um eine Erläuterung, die durch die Verwendung der (Standard-)Normalverteilung (NV) erfolgt; die Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung erlaubt es, die von dir erfragte Formel verwenden zu können (hier zur Berechnung eines klassischen Problems der Wahrscheinlichkeitsrechnung, d.h. die Berechnung einer Wahrscheinlichkeit als festgelegter Flächeninhalt unter einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion).

Deine Argumentation mit der "Approximation der BV durch die NV" könnte man also eher als "Einleitung" für die Herleitung der Gleichung verwenden, wenn ein zu lösendes Problem (binomialverteilt) auf die Normalverteilung umverlegt wird.

Die Herleitung deiner Formel (Gleichung II-190 im Buch) steht auf Seite 383, im Unterabschnitt "(4) Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(|X-\mu|\leq k\sigma)\)", also zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die symmetrisch um einen Erwartungswert liegen (sowohl für die klassische Normalverteilung mit \(\frac{x-\mu}{\sigma}\), als auch für die Standardnormalverteilung mit substituiertem \(U=\frac{x-\mu}{\sigma}\), siehe Seite 371 bzw. ab Seite 374).

Die Herleitung ist hierbei so ziemlich identisch zu dem, was Daniel in seinem Video erklärt (Gleichung (II-190) im Buch).

Zur Begründung, warum speziell \(\Phi(-k)=1-\Phi(k)\) gilt, könnte dir hierbei noch der Abschnitt "Erläuterungen zur tabellierten Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung", Seite 376 bis 378, behilflich sein (gleiche Quelle).

Ich nehme mal an, dass das Buch - für dich als Student - einfach zu bekommen sein sollte, wenn deine Universität oder Hochschule Zugang zu elektronischer Literatur hat (was heutzutage eigentlich sehr wahrscheinlich sein sollte). ;)

Die Nomenklatur mag vielleicht zunächst ein wenig verwirrend aussehen - mit ein wenig Hintergrundwissen und mit entsprechendem Grundverständnis zur Thematik ist das aber durchaus machbar. Der Papula ist da wirklich übersichtlich und empfehlenswert.

Liebe Grüße! :)