Dann würde ich so vorgehen: Sei \(I_n:=[a_n,b_n]\) eine Intervallschachtelung, d.h. \(I_{n+1}\subseteq I_n\) für alle \(n\in\mathbb{N}\) und \(b_n-a_n\to0\) für \(n\to\infty\).  Dann gilt \(a_1\le a_n\le b_n\le b_1\) für alle \(n\), d.h. die Menge \(\{a_n:n\in\mathbb{N}\}\) ist beschränkt und besitzt ein Supremum \(s\).  Zeige dann: \[s\in\bigcap_{n=1}^\infty I_n\] und \(s\) ist die einzige Zahl mit dieser Eigenschaft.

Allerdings sehe ich noch nicht, wo die archimedische Eigenschaft explizit einfließt; sie ist wohl indirekt über die Sätze, die man hier verwendet, notwendig.