Hallo ich sollte das Integral vom arcsin(x) dx berechnen. Leider ist mir dies nicht geglückt und ich musste in die Lösungen schauen:

Zuerst wurde partielle Integration verwendet:

Danach wurde der Nenner der rationalen Funktion im Integral noch substituiert u=1 - x^2:

Ich kann nachvollziehen, dass das x im Integral, welches ja die Aufleitung der 1 aus der Originalfunkion ist, einfach über den Nenner der Ableitung vom arcsin wandert. Ich verstehe, dass jenes x durch dass beim substituieren für dx= du/-2x entstehende Paket weggekürzt werden kann. Das - vorm Integral, sowie das - der -2 aus dem eben genannten Paket heben sich auf. Zurück bleibt die 2 welche sich wahlweise als Bruch vorm 1/sqrt(u) oder im Nenner dieses Bruchs schreiben liesse. Ich verstehe nur diesen letzten Schritt der eigentlichen Integration nicht, der uns zum Ergebnis führt. Das u unter der Wurzel wird nicht aufgelöst sondern bleibt mit der Wurzel stehen. Was passiert mit der 1/2 und dem Bruchstrich über dem sqrt(u)? Müsste die Konstante 1/2 beim integrieren nicht seine eigene x-variable bekommen und dabei um 1 erhöhen?

Ich habe mittlerweile die Stammfunktion des arcsin auf Wikipedia gefunden, welche sich mit dem Ergebnis deckt :D Meint ihr es wäre legitim diese Umformung so als bekannte Umformung auf dem Formelzettel mit in eine Klausur zu nehmen?