Integral einer rationalen Funktion mit wurzel im Nenner

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Hallo ich sollte das Integral vom arcsin(x) dx berechnen. Leider ist mir dies nicht geglückt und ich musste in die Lösungen schauen:

Zuerst wurde partielle Integration verwendet:

Danach wurde der Nenner der rationalen Funktion im Integral noch substituiert u=1 - x^2:

Ich kann nachvollziehen, dass das x im Integral, welches ja die Aufleitung der 1 aus der Originalfunkion ist, einfach über den Nenner der Ableitung vom arcsin wandert. Ich verstehe, dass jenes x durch dass beim substituieren für dx= du/-2x entstehende Paket weggekürzt werden kann. Das - vorm Integral, sowie das - der -2 aus dem eben genannten Paket heben sich auf. Zurück bleibt die 2 welche sich wahlweise als Bruch vorm 1/sqrt(u) oder im Nenner dieses Bruchs schreiben liesse. Ich verstehe nur diesen letzten Schritt der eigentlichen Integration nicht, der uns zum Ergebnis führt. Das u unter der Wurzel wird nicht aufgelöst sondern bleibt mit der Wurzel stehen. Was passiert mit der 1/2 und dem Bruchstrich über dem sqrt(u)? Müsste die Konstante 1/2 beim integrieren nicht seine eigene x-variable bekommen und dabei um 1 erhöhen?

 

Ich habe mittlerweile die Stammfunktion des arcsin auf Wikipedia gefunden, welche sich mit dem Ergebnis deckt :D Meint ihr es wäre legitim diese Umformung so als bekannte Umformung auf dem Formelzettel mit in eine Klausur zu nehmen?

gefragt 6 Tage, 14 Stunden her

 

Wenn eine handgeschriebene Formelsammlung zulässig ist, warum sollte dir jemand einen Strick daraus drehen, wenn so eine Umformung mit hinein nimmst?
  ─   peterpils 6 Tage, 12 Stunden her

Generell solltest Du bei Integralen immer darauf achten, ob der Integrand die Bauart: Funktion f(x) mal/durch Ableitung der Funktion hat. Dann ist immer die Substitution u=f(x) erfolgreich. Siehe Lernplaylist Integralrechnung   ─   professorrs 6 Tage, 11 Stunden her
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1 Antwort
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Du hast mit \(\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\) genau die Ableitung von \(\sqrt{u}\) im Integral stehen. Deswegen kannst du auch einfach \(\sqrt{u}\) als Stammfunktion wählen. Vielleicht wird es etwas deutlicher wo das \(\frac{1}{2}\) herkommt, wenn du es dir mit der Potenzschreibweise anschaust. Mit \(\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}\) ergibt sich:

\(\displaystyle{\int \dfrac{1}{2\sqrt{u}} du =\int \dfrac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} du \overset{*}{=}u^{\frac{1}{2}} =\sqrt{u}}\)

Dabei kannst du * anwenden, weil \(\left(u^{\frac{1}{2}}\right)' =\dfrac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}}\) ist.

 

Hoffe so wird der letzte Schritt klar. :)

geantwortet 6 Tage, 12 Stunden her
maqu
Punkte: 2.44K
 

Ahh vielen dank, jetzt macht es Sinn. Vielleicht h#tte man mal nach der Ableitung von Wurzel(x) suchen sollen :D   ─   patapusplatapus 6 Tage, 10 Stunden her

Immer gern ;)   ─   maqu 6 Tage, 10 Stunden her
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