Guter Ansatz! Wenn \(u'=(2x-5)^4\) ist, dann wähle \(u=\frac{1}{10}(2x-5)^5\) (Probe durch Ableiten mit Kettenregel!). Siehst Du jetzt, wie es weiter geht?

Hallo,

Hier ist die Lösung:

Moin Jule.

Du musst hier die partielle Integration zwei mal anwenden.

\(\displaystyle \int_a^b u'(x)\cdot v(x)=\left[ u(x)\cdot v(x)\right]_a^b-\displaystyle \int_a^b u(x)\cdot v'(x)\ dx\)

Hier bietet es sich an \(u'(x)=(2x-5)^4\) und \(v(x)=x^2\) zu wählen.

\(\displaystyle \int_{0}^{2,5}x^2\cdot (2x-5)^4dx=\left[ \frac{1}{10}(2x-5)^5\cdot x^2\right]_0^{2,5}-\displaystyle \int_0^{2,5}\frac{1}{10}(2x-5)^5\cdot 2x\ dx\)

\(=\displaystyle\left[ \frac{1}{10}(2x-5)^5\cdot x^2\right]_0^{2,5}-\displaystyle \int_0^{2,5}\frac{1}{5}(2x-5)^5\cdot x\ dx=\left[ \frac{1}{10}(2x-5)^5\cdot x^2\right]_0^{2,5}-\left( \left[\frac{1}{60}(2x-5)^6\cdot x\right]_0^{2,5}-\displaystyle\int_0^{2,5}\frac{1}{60}(2x-5)^6\cdot 1 \ dx\right)\)

\(=\displaystyle\left[ \dfrac{1}{10}(2x-5)^5\cdot x^2\right]_0^{2,5}-\left( \left[\dfrac{1}{60}(2x-5)^6\cdot x\right]_0^{2,5}-\left[\frac{1}{840}(2x-5)^7\right]_0^{2,5}\right)\)

\(=\displaystyle\left[ \dfrac{1}{10}(2x-5)^5\cdot x^2\right]_0^{2,5}-\left[\dfrac{1}{60}(2x-5)^6\cdot x\right]_0^{2,5}+\left[\frac{1}{840}(2x-5)^7\right]_0^{2,5}\)

Jetzt klar?

Grüße