Verwende die Definition von \(\mathrm{mod}_f\) und die Definitionen der Eigenschaften einer Äquivalenzrelation als Rezept, um sie eine nach der anderen nachzuweisen. Imitiere dabei die Sprache und das Vorgehen aus der Vorlesung. Ich fange Mal für Dich an:

reflexiv: Sei \(x\in X\) gegeben. Dann gilt \(f(x)=f(x)\). Daraus folgt ...

symmetrisch: Seien \(x,y\in X\) mit \(x\ \mathrm{mod}_f\  y\) gegeben. Es folgt ...

transitiv: Seien \(x,y,z\in X\) gegeben mit ...

Versuche, die Beweise zu Ende zu führen und lade Deinen Text hoch. Dann helfen wir weiter.

Zur Teilaufgabe (Beantwortung von Fragen in Kommentaren soll vermieden werden) :

~ setzt zwei Elemente aus X in Relation, da es eine Äquivalenzrelation auf X ist. \( mod_f\) verwendet eine Funktion \(f: X \rightarrow Y \). Als erstes sollte geklärt werden, worum es sich in diesem Fall bei der Menge Y handelt. 

Für den Rest: Denk Dir am besten zunächst ein Beispiel aus für eine Menge X und eine Äquivalenzrelation ~ und bilde dann die gesuchte Abbildung f, dann erkennst du schnell das Schema :-)