Damit die Lösung keine Potenzreihe, sondern nur ein Polynom ist, müssen schließlich alle Koeffizienten 0 sein. Nach der Rekursionsvorschrift ist \(a_{n+2}=0\) und damit auch alle \(a_{n+2m}=0, m\in\mathbb N\).

Damit aber auch die Koeffizienten der anderen Parität irgendwann 0 werden, muss \(a_0\) bzw. \(a_1\) gleich 0 sein, denn die Rekursionsvorschrift wird nur dann 0, wenn \(n= k\) oder \(a_k=0\). Damit ergibt sich im Fall \(n\) ungerade sofort \(T_n (0)=0\). Wie man in diesem Fall auf die Eindeutigkeit kommt, ist mir noch unklar, mir scheint als ob man \(a_1\) frei wählen dürfte. 

Wenn man die Eindeutigkeit aber gezeigt hat, kann man die Identität \(T_n(t)=\cos (n\arccos (t))\) darüber zeigen, dass

(1) \(\cos (n\arccos(t))\) ein Polynom ist und

(2) dass es die Differentialgleichung sowie die gegebenen Anfangswerte erfüllt.

(2) sollte einfaches Nachrechnen sein (zweimal Ableiten und einsetzen), für (1) setzen wir \(C (n)=\cos (n\arccos t)\) und \(S (n)=\sin (n\arccos t)\) und zeigen induktiv, dass \(C (n)\) sowie \(S (n)\sqrt {1-t^2}\) Polynome sind (Additionstheoreme). Zumindest fällt mir kein einfacherer Weg ein.

Die c) folgt direkt aus \(T_n (t)=\cos (n\arccos t)\), denn diese Funktion hat \(n\) Nullstellen und alle Extrema haben wegen dem Cosinus einen Funktionswert von \(\pm 1\).

Ich hoffe, ich konnte noch ein bisschen weiterhelfen und dass wir die letzten offenen Probleme auch noch gemeinsam lösen.

Hallo,

ich habe es noch nicht ganz durchgerechnet, aber schon mal ein paar Anmerkungen

Ich würde als Laufindex nicht \( n \) nehmen. Das \( n \) in der DGL hat nichts mit dem Laufindex zu tun.

Dann ist deine Variable \( t \) und nicht \( x \). Du hast also als Ansatz

$$ \sum\limits_{k=0}^\infty a_k t^k $$

Den Entwicklungspunkt müssen wir glaube ich auch nicht unbedingt wählen. Wenn wir nämlich \((t-t_0)^k \) auflösen, erhalten wir ein Polynom. Durch anpassen der Vorfaktoren, kann das Polynom angepasst werden. 

Mit diesem Ansatz ist es nun auch einfacher die Potenzreihen mit den Vorfaktoren zusammenzufassen. 

Nun würde ich mal versuchen alles in eine Reihe zu bekommen. Versuche dabei, alle Potenzen von \( t \) gleichzuhalten. Mache dafür gegebenenfalls eine Indexverschiebung. 
Wenn du dann nicht den gleichen Startindex hast, dann rechne solange Summanden aus, bis du bei allen Reihen den höchsten Startindex erreichst.

Also hast du beispielsweise

$$ \sum\limits_{k=1}^\infty a_k t^k + \sum\limits_{k=2}^\infty a_{k+1} k t^k $$

Dann berechnen wir den ersten Summanden der ersten Reihe zu ziehen die Reihen zusammen

$$ = a_1 t^1 + \sum\limits_{k=2}^\infty a_k t^k + a_{k+1} k t^k = a_1 t + \sum\limits_{k=2}^\infty (a_k + k a_{k+1} ) t^k $$
Nun kannst du einen Koeffizientenvergleich durchführen.

Die anderen Aufgabenteile sind denke ich aufgrund der Lösung von a) behandelbar. Du wirst wohl eine Lösung erhalten in Abhängigkeit von \( n \). Je nachdem ob \( n \) gerade ist oder nicht, nimmt das Einfluss auf \( a_0 \). Für ein Polynom

$$ p(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty a_k x^k $$

gilt für \( x=0 \) 

$$ p(0) = a_0 $$

Es geht hier also um den Startwert deiner rekursiven Vorschrift. 

Für den Beweis von 

$$ T_n (t) = \cos(n \cdot \arccos(t)) $$

muss man eventuell eine Taylorentwicklung machen. Aber da bin ich mir noch nicht ganz sicher, worauf das hinausläuft.

c) müsste man auch mal gucken, wenn die Lösung von a) vorliegt.

Ich hoffe das hilft dir schon mal. Versuch dich mal, ansonsten melde dich gerne nochmal. Ich rechne es später auch nochmal durch :)

Grüße Christian

Edit: Oh jetzt wo ich es abschicke, sehe ich das du sogar \(t \) als Variable eingesetzt hast. Würde es dann aber einheitlich halten :)