Lineare Vektorfelder, Phasenbilder / Phasenraum

Aufrufe: 1213     Aktiv: 28.03.2020 um 11:24
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Guten Abend

Ich versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen:

Meine bisherigen Lösungen :

Bei der a habe ich die Definitionen im Skript benutzt. Ich habe mal die wichtigsten herausgenommen (hoffe ich). Wir haben hier \(\lambda_{1,2} = 1, 5 \), wobei \(\lambda_2 > \lambda_1\). Nun soll laut Skript gelten, dass es sich hierbei um eine Parabelgleichung halten sollte, falls \(c_2 \neq 0\), aber wie kann ich \(c_1\) bzw. \(c_2\) überhaupt bestimmen? So wie meine Eigenvektoren die neue Basis aufspalten würde eine Parabelgleichung "schwer" einzuzeichnen sein.

Ich habe zusätzlich die Trafomatrizen berechnet (obwohl das wahrscheinlich nicht mal nötig ist). 

Bei der B habe ich zwei komplexe Eigenwerte und folglich eine Spirale als Graph. Im Skript hat die Spirale einen anderen Drehsinn ich geh mal davon aus, dass dieser hier (in meinem Fall mit einem negativen Vorzeichen der Determinante) eine korrekte Orientierung besitzt. (Habe das nicht geprüft).

 

Die Eigenwerte und Eigenvektoren sollten korrekt sein, da ich sie noch online überall nachgeprüft habe.

 

Bei der C:

Die ganzen Fälle für die Phasenbilder sind nur für sämtliche Matrizen \(A\) mit \(det(A) \neq 0\) definiert. Hier gilt ja aber gemäss hinweis und einfachem Nachprüfen, dass \(det(C) = 0\) und die Diagonalmatrix nach Basiswechsel folglich einen Nulleintrag in der Hauptdiagonalen hat.

 

Kann es sein, dass hier gar kein Phasenbild existieren kann?

 

Ich bedanke mich vielmals für eure Hilfe wie immer und ich hoffe, dass meine Frage und auch meine Angaben einigermassen vollständig und nachvollziehbar sind.

 

 

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Nur zu C: Wenn ein Eigenwert 0 ist, dann gibt es keine Bewegung in Richtung des zugehörigen Eigenwerts. Die Trajektorien sind also allesamt Geraden, die parallel zum andern Eigenvektor sind.

Zu A: Zu jeder Lösung gehört ja ein Punkt (Vektor) des Phasenraums als Anfangswert. \( c_1 \) und \( c_2 \) sind die Komponenten dieses Vektors bezüglich der Basis aus den Eigenvektoren. \( c_2 = 0 \) bedeutet, dass der Vektor ein Vielfaches des 1. Eigenvektors ist. Er bewegt sich also auf einer Geraden. Wenn der Startpunkt nicht auf einer der beiden durch die Eigenvektoren gegebenen Geraden liegt, dann ist die Bahn eine verallgemeinerte Parabel, sie hat (in der Basis aus Eigenvektoren) die Form des Graphen einer Potenzfunktion mit Exponent \( \lambda_2/\lambda_1\).

Zu B kann ich nichts sagen.

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Vielen Dank für deine Antwort. Also wenn \(c_2 = 0 \) wäre, dann wären die beiden Eigenvektoren ja nicht linear unabhängig . (da Vielfaches) was hier nicht der Fall ist, also haben wir hier keine für die Bahn keine verallgemeinerte Parabel vorliegen, korrekt?   ─   wizzlah 27.03.2020 um 11:32
Nein. Die c's haben nichts damit zu tun, wie die Eigenvektoren aussehen, sondern wo dein Startpunkt liegt. Es sind die Koordinaten des Startpunkts bezüglich der Basis aus den Eigenvektoren. \(c_2 =0 \) bedeutet, dass der Startpunkt sozusagen auf der lilanen Koordinatenachse liegt.   ─   digamma 27.03.2020 um 18:04
Super, nochmals besten Dank!   ─   wizzlah 28.03.2020 um 11:24

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