Wie finde ich die passende Drehmatrix?

Aufrufe: 642     Aktiv: 14.01.2021 um 21:10
0

Bei B müssten sich die Drehungen, da nicht wieder audgleichen und es kommt somit nochmal A raus?

Ich verstehe nicht wie man auf dieses Ergebiss kommen soll?

Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 16

 
Also ist der hintere Teil von B, die diagonalisierte Version von A mal den Eigenwert und U und U_invers steht dort nicht, da sich die beiden ausgleichen, oder?   ─   lia2105 13.01.2021 um 11:28
Nein \(U_{-\phi}\) und \( U_\phi \) heben sich nicht gegenseitig auf. Wenn die sich aufheben würden, dann wäre das Ergebnis ja wirklich \( B=A \). Habt ihr denn schon diagonalisieren einer Matrix behandelt?   ─   christian_strack 13.01.2021 um 13:39
Die beiden würden sich aufhaben, wenn wir
$$ A U_{-\phi} U_\phi $$
rechnen würden, da
$$ U_{-\phi} U_\phi = I $$
der Einheitsmatrix. Aber da die Matrixmultiplikation im allgemeinen nicht kommutativ ist, ist das hier nicht der Fall.   ─   christian_strack 13.01.2021 um 13:41
Nein, noch nicht. Das kommt eigendlich erst später. Wir hatten bisher nur Drehmatrizen allgemein. Kann man es auch anders machen?   ─   lia2105 13.01.2021 um 14:08
hmm gute Frage. Probiere gerade etwas rum. Prinzipiell würde mir gerade nur einfallen, dass man eine allgemeine Drehmatrix hernimmt
$$ U_\phi = \begin{pmatrix} \cos\phi & - \sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix} $$
Dann kann man die Matrizen ausmultiplizieren und erhält durch die zwei Nullzeilen nur bestimmte Werte die in Frage kommen. Allerdings komme ich noch nicht wirklich auf ne sinnvolle Lösung   ─   christian_strack 13.01.2021 um 14:53
Ah doch hatte einen kleinen Rechenfehler. Wenn du es so machst, wie ich es beschrieben habe, dann läuft alles auf die Gleichung
$$ -\cos^2(\phi) + \sin^2(\phi) - 2\cos(\phi)\sin(\phi) = 0 $$
heraus. Wolframalpha spuckt dafür auch eine Lösung aus. Damit könntest du weiter arbeiten.
Ein anderere Weg würde mir gerade nicht einfallen.   ─   christian_strack 13.01.2021 um 15:18
Ja genau, so habe ich es auch gemacht und ich glaube, ich habe auch die richtige Lösung, danke! Wenn man nun den umgekeherten Fall betrachtet, dass man die B*die Drehmatrize nimmt=A, Ist das dann U_inverse*U*B=A?
Ich habe mich einfach gefragt, was ich bei einer normalen Gleichug machen würde und das wäre dividieren. Bei Matrizen macht man das dann mit der inversen Matrix, anstatt einer normalen Division, so wie ich das richtig verstanden habe.   ─   lia2105 13.01.2021 um 16:22
Was hast du für eine Lösung? Und würdest du sagen, dass der Winkel und die Koeffizienten eindeutig sind?

Ja das geht schon mal in die richtige Richtung. Wir dürfen nicht durch Matrizen teilen. Allerdings können wir mit der Inversen multiplizieren. Hier müssen wir aber aufpassen, dass es die Inverse wirklich gibt. Gut hier gibt es die auf jeden Fall. Denn die Inverse einer Drehmatrix ist einfach eine Drehmatrix mit dem selben Winkel nur negiert.

Nun zur Rechnung. Wie gesagt sind Matrizen nicht kommutativ. Deshalb müssen wir aufpassen, von welcher Seite der Gleichung wir multiplizieren
$$ B = U_{-\phi} A U_\phi \Rightarrow U_\phi B U_{-\phi} = U_\phi U_{-\phi} A U_\phi U_{-\phi} = I A I = A $$
wir multiplizieren also von links mit \( U_\phi \) und von rechts mit \( U_{-\phi} \). Das muss dann auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.   ─   christian_strack 13.01.2021 um 16:37
Ich habe als Lösung (pi/8+pi/2)*n. Der Winkel ist nicht eindeutig, weil er sich immer nach pi halbe wiederholt, aber die koeffizienten sind es es. Als Ergebnisse für die Koeefizienten habe ich 2+Wurzel 2 und 2-Wurzel 2 herausbekommen.   ─   lia2105 13.01.2021 um 17:27
Ach ja stimmt, hast recht mit dem Kommutativen. Hab mir das gerade nochmal im Kopf so ein bisschen vorgestellt und gemerkt, dass es Sinn macht, haha.   ─   lia2105 13.01.2021 um 17:54
Kommentar schreiben
1 Antwort
0

Ja auf die Kommutativität muss man bei Matrizen immer achten. Man vertut sich oft, weil es bei Zahlen so natürlich ist sie zu vertauschen. :)

Die Lösung ist

$$ \phi = \frac 1 2 \pi n - \frac 1 8 \pi $$

das \(n\) bezieht sich nur auf einen Summanden. 

Du hast Recht das der Winkel nicht eindeutig ist, aber tatsächlich sind \( \mu \) und \( \lambda \) auch nicht ganz eindeutig. Es gilt zwar

$$ \lambda, \mu \in \{ 2-\sqrt{2} , 2 + \sqrt{2} \} $$

allerdings ist nicht eindeutig, welcher Wert \( \lambda \) ist und welcher \( \mu \). 

Betrachte dafür mal verschiedene Werte für \(n \). 

Man kann sich das auch geometrisch erklären. Es gilt

$$ \sin( \frac \pi 2 - \alpha) = \cos(\alpha) , \quad \cos(\frac \pi 2 - \alpha) = \sin( \alpha) $$

Wenn wir jetzt also \( n \) um \( 1 \) erhöhen, addieren wir \( \frac \pi 2 \) drauf. Damit gilt

$$ \sin( \phi + \frac \pi 2 ) = \cos(\frac \pi 2 -(\phi + \frac \pi 2)) = \cos(-\phi) = \cos(\phi) $$

und

$$ \cos(\phi + \frac \pi 2 ) =  \sin( \frac \pi 2 - ( \phi +\frac \pi 2)) = \sin( - \phi) = - \sin(\phi) $$

Damit kannst du zeigen, dass die Gleichungen auf der Hauptdiagonalen sich vertauschen, also auch die Werte vertausc

Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K

 
Interessant...darauf, dass sich die beiden vertauschen könnten, habe ich nicht gedacht. Danke für diene Hilfe!
   ─   lia2105 14.01.2021 um 17:42
Sehr gerne. Freut mich das ich helfen konnte :)
   ─   christian_strack 14.01.2021 um 21:10

Kommentar schreiben