Hallo,

habe es noch nicht ganz durchgerechnet, aber was mir auffällt ist

\( \sinh(\omega) = \frac {e^{\omega} - e^{-\omega}} 2 \)

Wenn wir den Zwischenwertsatz aufschreiben, erhalten wir mit \( f(x) = e^x \) und dem Intervall \( I=[- \omega , \omega ] \).

\( f'(\zeta) = \frac {e^{\omega}- e^{-\omega}} {2\omega} \\ \Rightarrow \omega \cdot f'(\zeta) = \sinh(\omega)  \)

Nun solltest du mit einer geschickten Abschätzung von \( f'(\zeta) \) die rechte Seite zeigen können. Es muss gelten \( f'(\zeta) > 1 \).

Ich denke mit der Ungleichung \( \tanh(\omega) < \omega \) musst du ähnlich verfahren. 

Grüße Christian

Der erste Teil der Ungleichung kannst du sehr ähnlich beweisen. Es gilt

\( \tanh(\omega) = \frac {\sinh(\omega)} {\cosh(\omega)} < \omega \\ \frac {\sinh(\omega)} {\omega} < \cosh(\omega) \)

Nun schreib dir wie beim letzten mal den Sinus Hyperbolicus in der Exponentialfunktionsdarstellung und bedenke, das \( \frac {d} {d\omega} \sinh(\omega) = \cosh(\omega) \).

Grüße Christian