Ich nehme an, der Aufgabentext lautet: "Bestimmen Sie eine Basis von U=.... und ergänzen Sie die Basis...."? Bitte nichts weglassen, das macht es leichter für uns.

Du hast das genau richtig gemacht. Wenn Du die Vektoren als Spalten aus R^3 übernimmst, bekommst Du eine 3x4-Matrix, musst dann aber Spaltenoperationen machen (Spaltenoperationen ändern den Spaltenraum nicht) um die Basis zu finden. Der Spaltenraum ist dabei U und bleibt das auch.

Oder, genauso gut, wie Du es gemacht hast, Du schreibst die Vektoren als Zeilen, bekommst eine 4x3-Matrix und machst Zeilenoperationen. Hier ist der Zeilenraum U und bleibt es auch, weil Du Zeilenoperationen machst.

Der Rechenaufwand ist bei beiden derselbe, und Dein Ergebnis ist, dass

\(\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right\}\) eine Basis von U ist.