Definitionsmenge und Nullstellen der Funktion berechnen.

Aufrufe: 1080     Aktiv: 03.07.2020 um 16:46
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Hi,

weiß da gar nicht genau wie ich da anfangen muss..

gegeben ist

f(x) =  \frac {4x+8} {3x-6}

Ich muss die Definitionsmenge (G = R) und Nullstellen der Funktion bestimmen und auch den Graphen skizzieren.

kann mir da jemand helfen?

 

Danke.

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Hey Richard,

du hast eine sogenannte gebrochenrationale Funktion, d.h. eine Funktion mit einem Polynom im Zähler und im Nenner.

Für den Definitionsbereich der Funktion musst du nun die Nullstellen des Nennerpolynoms bestimmen. An dieser Stelle würdest du nämlich durch 0 teilen und das ist nicht definiert. Entsprechend musst du deinen Definitionsbereich um die sogenannte Definitionslücke verringern.

Für die Nullstellen der Funktion betrachtest du das Zählerpolynom. Ein Bruch wird dann 0, wenn der Zähler und nicht gleichzeitig der Nenner 0 wird. Entsprechend berechnest du die Nullstelle deines Zählers, wenn das keine Nullstelle des Nenners ist, dann ist es eine Nullstelle deiner Funktion.

Ich hoffe das hilft dir weiter!

VG
Stefan

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M.Sc., Punkte: 6.68K

 
Für die Skizze musst du dir dann noch das Verhalten im Unendlichen überlegen und die Grenzwerte an der Definitionslücke.   ─   el_stefano 03.07.2020 um 15:47
Hi Stefan,
danke für die schnelle Antwort.
Könntest du mir das anhand des oben genannten Beispiels erklären?
Ich tu mir sehr schwer die Theorie so in die Praxis anzuwenden

LG :)   ─   richard.quach28 03.07.2020 um 15:54
Richard, ich würde eine neue Antwort schreiben und den Anfang machen. Dann können wir abwechselnd kommentieren und weiter machen und zusammen fragen klären.   ─   derpi-te 03.07.2020 um 15:59
Naja was ist denn dein Zählerpolynom und was ist dein Nennerpolynom? Wenn du das hast, siehst du, dass es 2 lineare Funktionen sind. Von solchen Funktionen weißt du sicherlich, wie man die Nullstellen berechnet.

Dein Zählerpolynom wäre also: \( 4x + 8 \). Die Nullstelle berechnest du durch Nullsetzen, d.h. \( 4x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{-8}{4} = -2 \)   ─   el_stefano 03.07.2020 um 15:59
Ich kann das ruhig ausführlich machen @el_stefano. Ich habe gerade Zeit   ─   derpi-te 03.07.2020 um 16:00
Okay super @derpi-te !   ─   el_stefano 03.07.2020 um 16:00
Passt, dann muss sich nur einer die Mühe machen;)   ─   derpi-te 03.07.2020 um 16:01

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Zum ersten wollen wir mal die Defintionsmenge D bestimmen. In dieser sind alle reelen Zahlen enthalten, die man für x einsetzten darf. Man muss also alle reelen Zahlen ausschließen, für die die Funktion nicht definiert ist. Das ist der Fall, wenn der Nenner für bestimmte x-Werte den Wert 0 annimmt. In diesen Fällen ist f nicht definiert, da man ja nicht durch 0 dividieren darf.

Wir müssen also nun den Nenner gleich 0 setzen: 

3x-6= 0

Welche(n) Wert(e) muss man in diesem Fall für x einsetzen, sodass der Nenner 0 wird? 

 

Ich würde jetzt so vor gehen, dass wir abwechselnd kommentieren und so "gemeinsam" die Aufgabe lösen und Verständnisfragen klären. 

Auf gehts!!

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danke euch beiden! :)
klingt gut ich probiers mal weiter zu machen
also damit der nenner 0 wird muss x = 2 sein
also 3*2 - 6 = 0
oder?   ─   richard.quach28 03.07.2020 um 16:10
So schaut's aus. Sehr gut!
Man schreibt das jetzt so:
D=R\{2}
sprich: Die Definitionsmenge enthält alle reelen Zahlen, außer der 2.

Wenn du Fragen hast, gerne einfach immer sofort melden!

Wenn man jetzt die Defintionsmenge erhalten hat, kann man ja mal die ganze Funktion gleich 0 setzen um die Nullstellen zu erhalten:
0 = \frac{4x+8}{3x-6}
Wie könnte man denn jetzt weiter machen, um nach x umzustellen? Wenn du keine Idee hast auch nicht schlimm. Einfach sagen.   ─   derpi-te 03.07.2020 um 16:14
ah ok d.h wir müssen zuerst definieren welche zahlen nicht in die definitionsmenge gehören.

müssen wir hier nun * (3x-6) rechnen ?
dann ist
0 = 4x+8 und dann /-8
-8 = 4x. /: 4
x = -2 ?

Bin mir leider unsicher ob das wirklich so sein sollte :(   ─   richard.quach28 03.07.2020 um 16:20
Du hast völlig recht. Wir wissen also, dass f bei x=-2 die einzige Nullstelle hat und bei x=2 nicht definiert ist. Eine undefinierte Stelle heißt Polstelle und die Funktion hat an dieser Stelle logischerweise keinen Funktionswert. Zeichnet man eine Gerade parallel zur y-Achse, die die x-Achse bei -2 schneidet ist das eine Asymptote der Funktion f, da der Graph dieser zwar immer näher kommt aber nie berührt. Das ist so, dass du alle Werte für x (egal wie nahe sie an -2 sind) einsetzen darf, außer eben -2. Jetzt müssen wir noch bestimmen wie die Funktion sich verhält, wenn man x gegen + und - unendlich schickt. Hast du so etwas mit dem grenzwert schon mal gemacht? Bzw. weißt du was es ist oder sogar wie es geht?   ─   derpi-te 03.07.2020 um 16:25
ah ok, langsam aber doch wirds klarer.
also mit grenzwerten hab ich das noch nicht gemacht -
ich nehm mal an dass wir das nächstes jahr lernen werden in der schule (ich probier am Anfang der Ferien immer bisschen über das nächste Schuljahr zu lernen um nicht immer hinten nach zu sein).

Kannst du es mir kurz erklären? :)   ─   richard.quach28 03.07.2020 um 16:29
Versuchen wir's! Erst mal formen wir den Bruch um:
{4x+8}/{3x-6}
Klammer wir erst mal im Zähler und Nenner jeweils ein x aus:
{x(4+8/x)}/{x(3-6/x)}
Das können wir jetzt kürzen zu:
{4+8/x}/{3-6/x}
Den Grenzwert zu bilden bedeutet jetzt, dass man x immer größer (Grenzwert für x gegen + unendlich) oder immer kleiner (Grenzwert für x gegen - unendlich). Im Zähler steht ja jetzt der Bruch 8/x. Je größere Werte für x man einsetzt, desto kleiner wird der Bruch, desto näher geht er also an die 0 ran. Das ist so, wie wenn man 4 Kuchen hat und die auf immer mehr Leute aufteilen muss (fast bis unendlich viele); irgendwann bekommt jeder praktisch 0 Kuchen. Also ist der Grenzwert für x gegen + und - unendlich im Zähler der Funktion 4+8x = 4+0=4.
Im Nenner ist das genauso und es folgt noch 3-0=3.
Je größere oder kleiner Werte man also für x einsetzt, der Graph wird immer näher an eine zur x-Achse parallelen Gerade annähren, die die y-Achse in der Höhe 4/3 schneidet. Diese ist wieder eine Asymptote, da der Graph sie nie ganz erreicht- erst im Unendlichen sozusagen.
Ich hoffe das war einigermaßen verständlich erklärt auch wenn dir noch etwas Vorwissen fehlen dürfte. Jetzt hast du die meisten Daten um den Graph zu zeichnen. Du bräuchtest nur noch das Grenzverhalten an der Polstelle. Soweit einigermaßen verstanden? Vielleicht schaust du auch nochmal nach nem Video von Daniel zu dem Thema. Hier kann ich leider keine anschaulichen Graph bieten. Das lässt der Kommentarbereich nicht zu.   ─   derpi-te 03.07.2020 um 16:46

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