Da fehlt noch das wesentliche Argument, und es gibt ein paar kleine Fehler: Ich beziehe mich auf \(A\) nach oben beschränkt \(\Leftrightarrow\) \(-A\) nach unten beschränkt. 

Sei \(x\) eine obere Schranke von a, d.h. es gilt \(\forall a\in A\colon a\le x\) (nicht "\(<\)"!). Daraus folgt aber nicht \(\inf A=-\infty\)!  Die Menge \(A\) könnte auch nach unten beschränkt sein.  Sei nun \(b\in -A\).  Dann gilt \(-b\in A\) und daher \(-b\le x\) ... Kannst Du den Beweis für "\(\Rightarrow\)" zuende führen, indem Du eine untere Schranke für \(-A\) angibst?