c): Für die Suche nach einer Idee, nimm erst einmal an, Du hättest schon die Lösung. Es muss ein LGS mit drei Variablen sein, da die Menge eine Teilmenge von \(\mathbb{R}^3\) ist. Die Menge \(S\) ist eindimensional (hat einen Parameter), das heißt, man hat nach zwei von den drei Variablen aufgelöst. Also muss das LGS aus zwei Gleichungen bestehen. Man könnte es also so schreiben: \(Ax=b\) mit \(x\in\mathbb{R}^3\), \(A\in\mathbb{R}^{2\times3}\) und \(b\in\mathbb{R}^2\). Seien \(u:=\pmatrix{-1\\3\\1}\) und \(v:=\pmatrix{1\\2\\3}\). Dann gilt: \(\forall\lambda\in\mathbb{R}\colon A(u+\lambda v)=b\). Insbesondere gilt dies für \(\lambda=0\); es muss also notwendig \(Au=b\) gelten. Wieder oben eingesetzt folgt für alle \(\lambda\): \(\lambda Av=0\), also insbesondere für \(\lambda=1\): \(Av=0\) als notwendige Bedingung.

Du hast jetzt schon viele notwendige Bedingungen für die Lösung an der Hand. Versuche damit, konkrete \(A\) und \(b\) zu finden, die diese Bedingungen erfüllen, und zeige, dass die Lösungsmenge von \(Ax=b\) für diese konkrete Auswahl die gesuchte Menge ist. Tipp: es gibt viele Möglichkeiten, \(A\) und \(b\) zu definieren, suche nach einem einfachen Beispiel.

Löse d) nach demselben Muster.

Ich helfe gerne weiter, wenn Du diesen Vorschlag durchrechnest und präsentierst.