Bei der vollständigen Induktion nimmst du für den Induktionsschritt die Induktionshypothese oder Induktionsvoraussetzung an, nämlich dass das zu zeigende Resultat für ein \(n\) gilt. Dann zeigst du unter Verwendung dieser Annahme, dass es auch für \(n+1\) gilt. Eigentlich sollte man für eine vollständige Lösung die Induktionsvoraussetzung vor dem Induktionsschritt hinschreiben, aber viele Leute sind dafür zu faul, weil sowieso jeder weiß, dass die jetzt eigentlich kommmen sollte.

Bei deinem Problem wurde also einfach die Summe durch den Term ersetzt, dem sie nach der Induktionsvoraussetzung entspricht, und dann noch mit \(n+2\) erweitert, um in beiden Brüchen den gleichen Nenner zu erhalten.