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Ein Parallelepiped ist ein spezielles Prisma welches sechs Parallelogramme als Begrenzungsflächen hat. Folgendes Bild soll dies verdeutlichen (Quelle Wikipedia):
Der Quader ist dabei ein Spezialfall. Wie jedes Volumen eines Prisma berechnet sich dieses durch Grundfläche mal Höhe (\(V=A_G\cdot h\)), wobei \(||a\times b||\) deine Grundfläche beschreibt. Deine Projektion \(||\mathcal{P}_{\langle a\times b\rangle_{\mathbb{R}}} (c)||\) ist als \(h\) in der Zeichnung zu verstehen. Wenn du dir nun noch überlegst wie du die Grundfläche mit Hilfe von \(\vec{a},\vec{b}\) und \(\gamma\) (Notationen aus der Skizze übernommen) darstellen kannst und wie sich deine Höhe durch \(\vec{c}\) und \(\theta\) berechnen lässt (Notationen auch aus der skizze), dann ist der Beweis doch recht schnell aufgeschrieben.
Ich hoffe ich konnte dir wenigstens vermitteln, was darunter zu verstehen ist.
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Könntest du mir noch erklären, was das spat in der Angabe bedeutet. Was versteht man unter "aufgespannten" ? ─ anonym 04.01.2021 um 00:15
zu deiner Aufspannfrage: sowohl \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) als auch \(\vec{a}\) und \(\vec{c}\) sowie \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) spannen jeweils ein Parallelogramm auf, welches eine Begrenzungsfläche des Spats ist. Somit spannen also die Vektoren \(\vec{a}, \vec{b}\) und \(\vec{c}\) das Spat auf. ─ maqu 04.01.2021 um 00:22