Gruppen und Untergruppen

Aufrufe: 468     Aktiv: 25.11.2020 um 17:25
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Hallo, 

ich habe folgende Aufgabe:

Sei G eine Gruppe und n€N. Wir betrachren die Menge M = { g€G : g^n=e}.

Nun soll ich zeigen, dass wenn G abelsch ist, M eine Untergruppe von G ist.

Dazu muss ich doch zeigen, das zwei Elemente, g,h € M und die Verknüpfung g•h auch € M ist, oder?

 Aber wie kann ich das beweisen?

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Du musst drei Dinge zeigen:

  • \(M\neq\emptyset\). Das ist einfach, denn \(e\in M\) für alle \(n\).
  • \(g,h\in M\Longrightarrow g\circ h\in M\). Sind \(g,h\in M\), dann ist \(g^n=h^n=e\). Wie kannst du dann zeigen, dass \((gh)^n=e\) ist?
  • \(g\in M\Longrightarrow g^{-1}\in M\). Ist \(g\in M\), dann ist \(g^n=e\). Du musst zeigen, dass dann auch \((g^{-1})^n=e\) ist. Dafür kannst du zeigen, dass \((g^{-1})^n=(g^n)^{-1}=e^{-1}=e\) ist.
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