Hallo,
wenn ich das richtig entziffern kann, hast du als Gerade \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}\) und als Ebene \(E:\vec{x}=\begin{pmatrix}
2\\
1\\
0
\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1
\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
7\\
-3\\
1
\end{pmatrix}\)

(entspricht \(4x_1+7x_2-7x_3-15=0\))

Für den Schnittpunkt einer Geraden und Ebene mit einer Geraden für \(g:\vec{r}(\lambda)=\vec{r_1}+\lambda \vec{a}\) und der Ebene \(E:\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0\) gilt:

\(\vec{r_s}=\vec{r_1}+\left (\frac{\vec{n}\cdot (\vec{r_0}-\vec{r_1})}{\vec{n}\cdot {\vec{a}}}\right )\vec{a}\), wobei \(\vec{r_s}\) der Ortsvektor des Schnittpunkts S ist.

In deinem Fall wäre es nun:

\(\vec{r_s}=\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}+
\left (\frac{\begin{pmatrix}
4\\
7\\
-7
\end{pmatrix}\circ\left [ \begin{pmatrix}
2\\
1\\
0
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix} \right ]}{\begin{pmatrix}
4\\
7\\
-4
\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}}\right )\cdot\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5.5\\
6.5\\
7.5
\end{pmatrix}\)

\(\rightarrow S(5.5\mid 6.5\mid 7.5)\)