Trigonometrische Gleichungen besitzen nun mal die Schwierigkeiten, dass es Lösungen gibt, die sich periodisch wiederholen, und man oft bestimmte Lösungen finden muss, die in einem gegebenen Intervall liegen. Es gibt unterschiedliche Vorgehensweisen, wie man lösen kann. Ich erkläre das gerne ausführlich mithilfe einer Substitution.

\(1-sin(\pi x)=0\)   | \(+sin(\pi x)\) 

\(sin(\pi x)=1\)   | Substitution \(\pi x=u\)

\(sin(u)=1\)

\(u=\frac{\pi}{2} \)    Da es sich um eine Extremstelle handelt, gibt es INNERHALB EINER Periode nur diese eine Lösung (in anderen Fällen gibt es auch eine zweite)!

Diese Lösung wiederholt sich nun mit der Periode von \(f(u)=sin(u)\), Periode: \(p=2\pi\)

Weitere Lösungen erhält man also durch Addition oder Subtraktion Vielfacher von \(2\pi\) von der Lösung, die man hat:

\(u=\frac{\pi}{2}\pm k\cdot 2\pi\), wobei k Element der ganzen Zahlen ist.

Es folgt die Resubstitution (mit \(\pi x=u\)) also: \(\pi x=\frac{\pi}{2}\pm k\cdot 2\pi\)   |:\(\pi\)

\(x=\frac{1}{2} \pm k\cdot2\)  

Und jetzt prüft man, für welche k (Element der ganzen Zahlen) man Lösungen aus dem Intervall erhält.

Für k=-1 erhält man \(x_1=-1,5\), für k=0 erhält man \(x_2=0,5\) und für k=1 erhält man \(x_3=2,5\)

Naja um die Nullstellen zu berechnen, setzt du ja die Funktion gleich Null. Dann kannst du sie umformen zu sin(pi*x)=1 , dann schaust du dir den Graphen an. Wann nimmt die Sinusfunktion den Wert 1? Naja zum Beispiel bei pi/2, also welche Zahl musst du für x einsetzen, Damit pi/2 in der Klammer von sinus steht? Dann schaust du dir die nächsten Stelle an für die sin(pi*x)=1 ist. LG