Hallo,

jede Matrix lässt sich als Addition einer strikten oberen Dreieckesmatrix, einer Diagonalmatrix und einer strikten unteren Dreicksmatrix schreiben. Dabei hat die Diagonalmatrix alle Elemente der Diagonalen, die striktere untere Dreieckesmatrix alle Elemente unterhalb der Diagonalen und die strikte obere alle Elemente oberhalb der Dreiecksmatrix. 

$$ \begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0 &0 & \cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & & \vdots \\0& 0& \cdots & 0\\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a_{11}& 0& \cdots & 0\\0& a_{22}& \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & & \vdots \\0& 0& \cdots & a_{mn}\\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0& 0& \cdots & 0\\a_{21}& 0& \cdots & 0\\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{m1}& a_{m2}& \cdots & 0\\\end{pmatrix}$$

Eine LR Zerlegung brauchst du dafür nicht. 

Die LR Zerlegung nutzt du, um eine Matrix in ein Produkt aus unterer und oberer Dreiecksmatrix zu zerlegen. Diese sind aber im allgemeinen nicht strikt (das bedeutet sie haben Elemente auf der Hauptdiagonalen). Diese Zerlegung wird für gewöhnlich zum anwenden des Gauß Algorithmus genutzt. 

Für das Gauß Seidel Verfahren braucht die Matrix auch nicht symmetrische oder positiv definite Matrix sein.

Grüße Christian