Eine Umformung ist nicht korrekt. Aus \( e^{x*ln(3)} \) machst du \( e^{3x} \). Das würde ja heißen, \( x*ln(3) \) wäre gleich \( 3x\), also ln(3) wäre gleich 3!

Die richtige Umformung hast du schon mit eben: \( e^{x*ln(3)} \)

Auf Grundlage des Wissens, dass gilt: \( a = e^{ln(a)} \) würde ich von Anfang an folgendermaßen vorgehen:

\( f(x)= 3^{x} \)

\(f(x)= e^{ln(3^x)} \)

\(f(x)= e^{x*ln(3)} \)

Und die Ableitung ist dann: \(f'(x)= ln(3)*e^{x*ln(3)} \)

Und wieder vereinfacht: \(f'(x)= ln(3)*3^{x} \)

Ergänzung: Wie schon gesagt wurde, ln(3) ist ja einfach nur eine Zahl ... und ein konstanter Faktor bleibt erhalten. Deshalb:

\(f''(x)= ln(3)*ln(3)*e^{x*ln(3)} \)

\(f''(x)= (ln(3))^2*e^{x*ln(3)} \)

\(f''(x)= (ln(3))^2*3^{x} \)

${\mathrm{Alles\; soweit\; ok\; aber\; beim\; Nachdifferenzieren\; nach\; x\; ableiten...}}^{}$

${\mathrm{Also:}}^{}$

$f^{\prime }\left(x\right)=e^{3x}$

        $=3\ast e^{3x}$